4.2.5 正态分布-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.2.5　正态分布 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．(重点) 2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(重点) 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(难点) 1．通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养． 2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X～N(μ，σ2)在某一区间内取值的概率，提升数学运算的素养. 小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？ 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线的定义 一般地，函数φμ，σ(x)＝. )对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝e (2)正态曲线的性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 2．正态分布 (1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数． (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%. P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%. P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. 思考1：如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系？ [提示]　P(x≤μ)＝P(x≥μ)＝. 3．标准正态分布 (1)定义：μ＝0且σ＝1的分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)． (2)概率计算方法： 如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积． 特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1. 思考2：正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？ [提示]　借助X＝实现转换． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正态曲线是一条钟形曲线． (　　) (2)正态曲线可以关于y轴对称． (　　) (3)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ＞0的图像是下图中的(　　) e－ A　　　　　　B C　　　　　　D D　[因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝μ对称，又μ＞0，故选D.] 3．(一题两空)如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量中X，Y对应曲线分别是图中的________、________. ①　②　[在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．] 4．若随机变量X～N(0,1)，则P(x＜0)＝________. .]　[由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x＜0)＝ 利用正态分布的对称性求概率 【例1】　设X～N(10,1)． (1)求证：P(1<X<2)＝P(18<X<19)； (2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)． [解]　(1)证明：∵X～N(10,1)， ∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称， 而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称， 即P(1<X<2)＝P(18<X<19)． (2)∵P(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1， μ＝10， ∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a， P(2<X≤10)＝P(10<X<18)， ∴2a＋2P(10<X<18)＝1， 即P(10<X<18)＝－a.＝ 充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解. (1(熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等. (2(P(X<a(＝1－P(X≥a(；, P(X<μ－a(＝P(X>μ＋a(. 1．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝(　　) A．0.477