4.1.2 第2课时 全概率公式、贝叶斯公式-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　全概率公式、贝叶斯公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解并掌握全概率公式．(重点) 2．了解贝叶斯公式．(难点) 3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(易错点) 1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养． 2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养. 有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 问题：如何求取得红球的概率？ 1．全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()； )P(B| (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且 P(B)＝. ＝ 思考：全概率公式体现了哪种数学思想？ [提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． 2．贝叶斯公式 (1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝ ＝. (2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝. ＝ 拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)之间的内在联系．)P(B|，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()． (　　) )P(A| (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． (　　) (3)P(A|B)＝. (　　) ＝ [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．已知事件A，B，且P(A)＝，则P(B)等于(　　) )＝，P(B|，P(B|A)＝ A.　　　D.　　　C.　　　B. C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P())P(B| ＝.故选C.]＝×＋× 3．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________． .)＝，P(B|，P(B|A)＝　[设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝ 则P(B)＝P(AB)＋P())P(B|B)＝P(A)P(B|A)＋P( ＝×＋× ＝.] 4．对以往数据分析结果表明， 当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为55%. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概率约是________． 0.97　[设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”． P(A|B)＝0.98，P(A|)＝0.55， P(B)＝0.95，P()＝0.05， 所求的概率为 P(B|A)＝≈0.97.] 全概率公式及其应用 【例1】　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． [解]　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为 C＝28，＝ 这2个产品都是次品的事件数为C＝3. ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝，＝，P(B2)＝＝ P(B3)＝，＝ P(A|B1)＝，，P(A|B3)＝，P(A|B2)＝ ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝.＝×＋×＋× 通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问： (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出