第03讲 导数在研究函数的应用-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第5章 导数 第03讲 导数在研究函数中的应用 课程标准 重难点 1. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性. 2. 集合实例，借助几何直观探索并了解函数的极值与最值的关系，会求极值与最值 3. 掌握导数在函数中的应用 1.函数单调区间的计算 2.函数极值与最值的关系 3.函数最值的计算 一、函数的单调性与导数的关系 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； (3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数． 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2.常用结论汇总——规律多一点 (1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 二、函数的极值最值与导数的关系 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ①函数f(x(在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0(＝0，极值点是f′(x(＝0的根，但f′(x(＝0的根不都是极值点(例如f(x(＝x3，f′(0(＝0，但x＝0不是极值点(. ②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点. 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3常用结论 1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 考法01 利用导数研究函数的单调性 已知函数f(x)＝ln x＋ － (a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． 【解析】　f′(x)＝ (x>0)， ①当a<0时，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，由f′(x)＝ >0，得x> ； 由f′(x)＝ <0，得0<x< ， ∴函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减． 综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减． 【方法总结】 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 【跟踪训练】 1．函数f(x)＝ex－ 在定义域内为________函数(填“增”或“减”)． 【答案】增 【解析】由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠－1}． ∵f(x)＝ex－ ，∴f′(x)＝ex＋ >0. ∴f(x)在定义域内为增函数． 2．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． 【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f(x)＝aln x＋x2，所以f′(x)＝ ＋2x＝ . ①当a>0时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ (负值舍去)，