选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2．5　圆锥曲线的统一定义 学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．(重点)2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点) 1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 当0<e<1时，它表示椭圆； 当e>1时，它表示双曲线； 当e＝1时，它表示抛物线． 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线． 2．椭圆.＝1(a＞b＞0)的准线方程为y＝±＋，＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±＋ 双曲线，＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±－ 双曲线.＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为y＝±－ [基础自测] 1．思考辨析 (1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线． (　　) (2)椭圆. (　　)＋y2＝1的准线方程是x＝± (3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)． (　　) (4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．双曲线－y2＝1的准线方程为________． [解析]　易知a2＝15，b2＝1， ∴c2＝a2＋b2＝16， 即c＝4， 则双曲线的准线方程为x＝±. [答案]　x＝± 3．焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x＝±的椭圆的标准方程为______． [解析]　由题意知c＝2，则＋y2＝1.，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，则椭圆的方程为＝＝ [答案]　＋y2＝1 4．双曲线，则右焦点的坐标为________．＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝－ [解析]　据题意知解得a＝1，c＝2，则右焦点的坐标为(2,0)． [答案]　(2,0) 已知焦点和准线求圆锥曲线的方程 　已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程： (1)e＝； (2)e＝1； (3)e＝. [解]　(1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由＝1.＋，所求方程为，b2＝，a＝，解得c＝＝＝1， (2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，＝1，可得y2＝－4x. (3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，.，b2＝，a＝，解得c＝＝＝1， 所求方程为＝1.－ [规律方法]　本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式. [跟踪训练] 1．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． [解]　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M. ∵|AF|＝3，∴y0＋＝3， ∵|AM|＝， ∴x2＝17，＋ ∴x＝2py0得，＝8，代入方程x 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 用圆锥曲线的统一定义求轨迹 　已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹． [思路探究]　此题解法有两种：一是定义法，二是直译法． [解]　法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c＝3，，＝9，则a2＝27，a＝3 ∴e＝，与已知条件相符．＝ ∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9. b2＝18，其方程为＝1.＋ 法二：由题意得.＝ 整理得＝1.＋ P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆． [规律方法]　解决此类题目有两种方法： (1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程. (2)是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程. [跟踪训练] 2．方程＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________． [解析]　由＝|x＋y－1|， 得.＝ 可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线． [答案]　双曲线 圆锥曲线统一定义的应用 　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．＋ (1)求MA＋MB的最大值和最小值； (2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标． [思路探究]　(1)利用椭圆的定义进行转化求解． (2)注意e＝＝d(d为点M到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解．MA＝，则 [解]　(1)如图所示，由＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.＋ 所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点． 因为MA＋MF＝2a＝10，