必修5 2.3.3 第2课时 数列求和-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

第2课时　数列求和 学习目标：1.掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等．(重点、难点)2.在求和过程中，体会转化与化归思想的应用.3.错位相减时的项数计算．(易错点) 1．分组求和法 若cn＝an＋bn，{an}，{bn}，{cn}前n项和分别为An，Bn，Cn，则Cn＝An＋Bn，以此可以对数列{an}分组求和． 2．错位相减法求和 设数列{an}为等比数列且公比q≠1，则 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. 两式相减，(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 所以Sn＝(q≠1)． 这种求和的方法叫错位相减法． 3．裂项相消法求和 将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法． 4．数列{an}的an与Sn的关系：数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝ [基础自测] 1．若an＝，则数列{an}的前10项和S10＝________. [解析]　∵an＝，－＝ ∴S10＝.＝＋…＋＋ [答案]　 2．数列1，…的前n项和是________．，4，3，2 [解析]　Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋.＋1－＝＋…＋＋＋ [答案]　＋1－ 分组求和 　求和：Sn＝2.2＋…＋2＋ [思路探究]　先分析通项an＝＋2，再分组求和，注意x的取值范围．2＝x2n＋ [解]　当x≠±1时， Sn＝22＋…＋2＋ ＝＋…＋＋ ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋ ＝＋2n＋ ＝＋2n； 当x＝±1时，Sn＝4n. 综上知，Sn＝ [规律方法]　分组求和法的求和策略 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可.像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形. [跟踪训练] 1．已知数列1＋1，＋3n－2，…，求其前n项的和．＋7，…，＋4， [解]　设Sn＝(1＋1)＋将其每一项拆开再重新组合得，＋…＋＋ Sn＝＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)， 当a＝1时，Sn＝n＋；＝ 当a≠1时， Sn＝＋ ＝.＋ 错位相减法求和 　已知数列{an}，a1＝1，an＝2·3n－2(n≥2)，求数列{nan}的前n项和Tn. [思路探究]　利用错位相减法求Tn，但本题需注意n的范围． [解]　Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan. 当n＝1时，T1＝1； 当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，① 3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，② ①－②得： －2Tn＝1＋(4－3)＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1 ＝2＋2·－2n·3n－1 ＝－1＋(1－2n)·3n－1， ∴Tn＝3n－1(n≥2)．＋ 又∵T1＝a1＝1也满足上式， ∴Tn＝3n－1(n∈N*)．＋ [规律方法]　 1．若cn＝an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{cn}的前n项和可用错位相减法求得． 2．用错位相减法求和时应注意：①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号． 提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号． (2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和． [跟踪训练] 2．求数列的前n项和Sn. [解]　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， Sn＝1×，①＋…＋n×＋3×＋2× ，② ＋n×＋…＋(n－1)×＋2×Sn＝1× ①－②得，－n×＋…＋＋＋Sn＝ ＝－n× ＝1－，－n× ∴Sn＝2－.－ 裂项相消法求和 　求和：，n≥2.＋…＋＋＋ [思路探究]　由＝＝ 逐项裂项相消求和． [解]　∵，＝＝ ∴原式＝ ＝ ＝.－ [规律方法]　 1．裂项相消法的裂项方法 (1)；＝ (2)若{an}为等差数列，公差为d，则；＝ (3). －＝ 2．如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和． [跟踪训练] 3．求和：1＋.＋…＋＋ [解]　∵，＝2＝ ∴原式＝2 ＝2.＝ 数列求和的综合应用 [探究问题] 1．如何求数列{(－1)n}的前n项的和？ [提示]　分n为奇、偶数两类分别求数列{(－1)n}的和． 2．若数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn间存在怎样的关系？如何由Sn求通项an? [提示]　由Sn＝a1＋a2＋…＋