第十章 10.3 复数的三角形式及其运算（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

数学（必修·第四册 RJB） ∴ i + i2 + i3 + … + i2 020 = (i + i2 + i3 + i4) + (i5 + i6 + i7 + i8 ) + … + (i2 017 + i2 018 + i2 019 + i2 020) = 0. 　 　 对点练习 3:(1)0　 z2 = - 1 - i 2( ) 2 = - i. z2 010 + z102 = ( - i) 1 005 + ( - i) 51 = ( - i) 1 004·( - i) + ( - i) 48·( - i) 3 = - i + i = 0. (2)原式 = i·i2·i3·…·i10 = i1 + 2 + 3 + … +10 = i55 = i3 = - i. 　 　 典例 4:(1)把 x = - 1 + i 代入方程 x2 + ax + b = 0,得( - a + b) + (a - 2)i = 0, ∴ - a + b = 0,a - 2 = 0,{ 解得 a = 2, b = 2.{ (2)由(1)知方程为 x2 + 2x + 2 = 0. 设另一个根为 x2,由根与系数的关系,得 - 1 + i + x2 = - 2, ∴ x2 = - 1 - i. 把 x2 = - 1 - i 代入方程 x2 + 2x + 2 = 0, 则左边 = ( - 1 - i) 2 + 2( - 1 - i) + 2 = 0 = 右边, ∴ x2 = - 1 - i 是方程的另一个根. 　 　 对点练习 4:(1)A　 ∵ Δ = 36 - 4 × 13 = - 16, ∴ x = - 6 ± - 162 = - 3 ± 2i. (2)由根与系数的关系可得 (2 + ai) + (b + i) = - p,(2 + ai)·(b + i) = q,{ 即 p = - (2 + b) - (a + 1)i,q = 2b - a + (2 + ab)i,{ 因为 p,q 均为实数,所以 - (a + 1) = 0,2 + ab = 0,{ 解得 a = - 1,b = 2,{ 从而有 p = - 4, q = 5.{ 易错警示 　 　 典例 5:设 z = x + yi(x,y∈R), 则由条件得 x2 - y2 + 2xyi - x2 + y2 - 6 = 0. 由复数相等的充要条件得 x 2 - y2 - x2 + y2 - 6 = 0, 2xy = 0,{ 解得 x 2 - x2 - 6 = 0, y = 0{ 或 y 2 + y2 + 6 = 0, x = 0{ (无解), 即 ( x 2 - 3)( x2 + 2) = 0, y = 0,{ 解得 x = ± 3, y = 0.{ 故 z = 3 或 z = - 3. 　 　 对点练习 5:B　 设 z = a + bi(a,b∈R), ∵ z = - | z | ,∴ a + bi = - a2 + b2 , ∴ a = - a 2 + b2 , b = 0,{ 解得 a≤0, b = 0.{ 故 z 的实部不大于 0. 课堂检测·固双基 1. B　 ∵ (m2 + i)(1 + mi) = (m2 - m) + (m3 + 1)i 是实数,m∈R, ∴ 由 a + bi(a、b∈R)是实数的充要条件是 b = 0, 得 m3 + 1 = 0,即 m = - 1. 2. A　 设 z = a + bi(a,b∈R),则 􀭰z = a - bi,代入 z·􀭰zi + 2 = 2z 中得,(a + bi)(a - bi) i + 2 = 2(a + bi), ∴ 2 + (a2 + b2)i = 2a + 2bi, 由复数相等的条件得, 2a = 2,a2 + b2 = 2b,{ ∴ a = 1, b = 1.{ ∴ z = 1 + i,故选 A. 3. A　 z = 3 + 4i2 + i = (3 + 4i)(2 - i) (2 + i)(2 - i) = 2 + i. 选 A. 4. C　 ∵ z = 3 - i1 + 2i = (3 - i)(1 - 2i) (1 + 2i)(1 - 2i) = 1 - 7i 5 , ∴ | z | = 15( ) 2 + - 75( ) 2 = 2 . 故选 C. 5. 设 z = a + bi(a,b∈R),则 􀭰z = a - bi, 由已知得:(1 + 2i)(a - bi) = (a + 2b) + (2a - b) i = 4 + 3i,由复数相 等的定义知, a + 2b = 4,2a - b = 3.{ 得 a = 2,b = 1, ∴ z = 2 + i. ∴ z 􀭰z = 2 + i2 - i = (2 +