第十章 10.2 复数的运算（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

新教材·高中新课程学习指导 又 | z1 | = 52 + 32 , | z2 | = 52 + 42 ,∴ | z1 | < | z2 | . 3. A　 依题意可得 (m - 3) 2 + (m - 1) 2 = 2,解得 m = 1 或 3,故选 A. 4. 9　 ∵ z = (m - 3) + 2 m i 表示的点在 y = x 上, ∴ m - 3 = 2 m,解得 m = 9. 5. ∵ 复数 z = a2 - 1 + (a + 1)i 是纯虚数, ∴ a 2 - 1 = 0, a + 1≠0.{ 解得 a = 1,∴ z = 2i. ∴ | z | = 2. 10. 2　 复数的运算 10. 2. 1　 复数的加法与减法 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 (1)(a + c) + (b + d)i　 (2) z2 + z1 　 z1 + ( z2 + z3) (3) | | z1 | - | z2 | | 　 | z1 | + | z2 | 　 　 知识点 2　 (1) - a - bi　 (2)(a - c) + (b - d)i (3) | | z1 | - | z2 | | 　 | z1 | + | z2 | 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1) - 2 - i　 (2) 2 (1)(2 - 3i) + ( - 4 + 2i) = (2 - 4) + ( - 3 + 2)i = - 2 - i. (2) z1 - z2 = [(3x - 4y) + (y - 2x) i] - [( - 2x + y) + ( x - 3y) i] = [(3x - 4y) - ( - 2x + y)] + [(y - 2x) - (x - 3y)] i = (5x - 5y) + ( - 3x + 4y)i = 5 - 3i, 所以 5x - 5y = 5,- 3x + 4y = - 3,{ 解得 x = 1,y = 0, 所以 z1 = 3 - 2i,z2 = - 2 + i,则 z1 + z2 = 1 - i,所以 | z1 + z2 | = 2 . 　 　 对点练习 1:(1) - 10i　 (2)3 (1) - i - ( - 1 + 5i) + ( - 2 - 3i) - ( i - 1) = - i + 1 - 5i - 2 - 3i - i + 1 = - 10i. (2)由条件知 z1 + z2 = a2 - 2a - 3 + (a2 - 1)i, 又 z1 + z2 是纯虚数,所以 a2 - 2a - 3 = 0, a2 - 1≠0,{ 解得 a = 3. 　 　 典例 2:(1)AO→ = - OA→,∴ AO→所表示的复数为 - 3 - 2i. ∵ BC→ = AO→,∴ BC→所表示的复数为 - 3 - 2i. (2)CA→ = OA→ - OC→. ∴ CA→所表示的复数为(3 + 2i) - ( - 2 + 4i) = 5 - 2i. (3)对角线OB→ = OA→ + OC→,它所对应的复数 z = (3 + 2i) + ( - 2 + 4i) = 1 + 6i, |OB→ | = 12 + 62 = 37. 　 　 对点练习 2:如图,因为 AC 与 BD 的交 点 M 是各自的中点, 所以有 zM = zA + zC 2 = zB + zD 2 , 所以 zD = zA + zC - zB = 1 - 7i, 因为AC→:zC - zA = 2 - ( - 5 - 2i) = 7 + 2i, 所以 | AC→ | = | 7 + 2i | = 72 + 22 = 53, 因为BD→:zD - zB = (1 - 7i) - ( - 4 + 5i) = 5 - 12i, 所以 |BD→ | = |5 - 12i | = 52 + 122 = 13. 故点 D 对应的复数是 1 - 7i,AC 与 BD 的长分别是 53和 13. 　 　 典例 3:(1)A　 设复数 - i,i, - 1 - i 在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2,Z3, 因为 | z + i | + | z - i | = 2, |Z1Z2 | = 2,所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2 . 问题转化为:动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动,求 | ZZ3 |的最小值,因为 |Z1Z3 | = 1. 所以 | z + i + 1 | min = 1. (2)如图所示, |OM→ | = ( - 3) 2 + ( - 1) 2 = 2. 所以 | z | max = 2 + 1 = 3, | z | min = 2 - 1 = 1. 　 　 对点练习 3:因为 | z | = 1 且 z∈C,作图如