第九章 解三角形 章末知识梳理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

新教材·高中新课程学习指导 课堂检测·固双基 1. C　 由余弦定理,得 |AB | = a2 + b2 - 2abcos C. 故选 C. 2. B　 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图. 知 α = β,故选 B. 3. D　 由题意知,∠A = ∠B = 30°, 所以∠C = 180° - 30° - 30° = 120°, 由正弦定理得, ABsin C = AC sin B,即 AB = AC × sin C sin B = 4 × sin 120° sin 30° =4 3(m). 4. 32　 过 A 作 AE⊥CD(图略),垂足为 E,ED = AB = 24 米,则 AE = ED tan 60° = 24 3 = 8 3(米) . 在 Rt△ACE 中,CE = AE·tan 30° = 8 3 × 33 = 8(米), ∴ CD = CE + ED = 8 + 24 = 32(米) . 5. 如图所示,由题意,得∠ABC = 45° - 30° = 15°, ∠DAC = 60° - 30° = 30°. ∴ ∠BAC = 150°,∠ACB = 15°, ∴ AC = AB = 40 m,∠ADC = 120°,∠ACD = 30°. 在△ACD 中,由正弦定理,得 CD = sin∠CADsin∠ADC × AC = sin 30° sin 120° × 40 = 40 3 3 (m) . 故转播塔的高度为 40 3 3 m. 章末知识梳理 要点专项突破 　 　 典例 1:D　 由正弦定理可知 asin A = b sin B⇒ 1 1 2 = 2sin B⇒sin B = 1, 因为角 B 是△ABC 的内角,所以 B∈(0°,180°),因此角 B 等于90°, 故本题选 D. 　 　 对点练习 1:(1)B　 (2)75° 　 (3)D (1)在△ABC 中,A = 75°,B = 45°, ∴ C = 180° - A - B = 60°. 设△ABC 的外接圆半径为 R,则由正弦定 理可得 2R = csin C,解得 R = 1,故△ABC 的外接圆面积 S = πR 2 = π. 故选 B. (2)∵ b = 4 33 ,c = 2 2,C = 60°,∴ 由正弦定理 b sin B = c sin C得 sin B = bsin Cc = 4 3 3 × 3 2 2 2 = 22 . ∵ b < c,∴ B < C,∴ B = 45°, ∴ A = 180° - (B + C) = 180° - 105° = 75°. (3)在△ABC 中,a = 4,b = 4 3,A = 30°, 由正弦定理 a sin A = b sin B得 4 sin 30° = 4 3 sin B,解得 sin B = 3 2 . 因为 b > a,由大边对大角可得 B > A,∴ B = 60°或 120°,故选 D. 　 　 典例 2:B　 ∵ 2bcos C - 2ccos B = a, ∴ 2sin Bcos C - 2sin Ccos B = sin A = sin (B + C), 即 sin Bcos C = 3cos Bsin C,∴ tan B = 3tan C,又 B = 2C, ∴ 2tan C 1 - tan2C = 3tan C,得 tan C = 33 ,C = π 6 ,B = 2C = π 3 ,A = π 2 ,故 △ABC 为直角三角形. 　 　 对点练习 2:(1)A　 (2)直角三角形 (1)在△ABC 中,b = 1,acos B = 1 - cos A, 所以 acos B = b - bcos A. 由正弦定理得 sin Acos B = sin B - sin Bcos A. 所以 sin Acos B + sin Bcos A = sin B. 所以 sin (π - C) = sin B,即 sin C = sin B, 因为 B,C 为△ABC 的内角,所以 B = C. 所以△ABC 为等腰三角形. 故选 A. (2)∵ sin2 A2 = c - b 2c = 1 - cos A 2 ,即 cos A = b c , 由余弦定理可得, bc = b2 + c2 - a2 2bc . ∴ a2 + b2 = c2,∴ 三角形 ABC 是直角三角形. 　 　 典例 3:(1)由题意知 2acos B + b = 2c, 由正弦定理可得 2sin Acos B + sin B = 2sin C, 2sin Acos B + sin B =2sin C =2sin (A + B) =2sin Acos B +2cos Asin B, 整理得 si