第九章 9.2 正弦定理与余弦定理的应用&9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

数学（必修·第四册 RJB） 当且仅当 a = c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2 + 1. 　 　 对点练习 4:(1)由 2asin B = 3b 及正弦定理 a sin A = b sin B,得 sin A = 3 2 . 因为 A 是锐角,所以 A = π3 . (2)由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccos A,得 b2 + c2 - bc = 36. 又 b + c = 8,所以 bc = 283 . 由三角形面积公式 S = 12 bcsin A,得△ABC 的面积为 7 3 3 . 易错警示 　 　 典例 5:∵ 2a + 1,a,2a - 1 是三角形的三边, ∴ 2a + 1 > 0, a > 0, 2a - 1 > 0,{ 解得 a > 1 2 ,此时 2a + 1 最大. 要使 2a + 1,a,2a - 1 表示三角形的三边, 还需 a + (2a - 1) > 2a + 1,解得 a > 2. 设最长边 2a + 1 所对的角为 θ, 则 cos θ = a 2 + (2a - 1) 2 - (2a + 1) 2 2a(2a - 1) = a(a - 8) 2a(2a - 1) < 0, 解得 1 2 < a < 8. ∴ a 的取值范围是(2,8) . 　 　 对点练习 5:因为 a,b,c 是△ABC 的三边,所以 b - a < c < a + b, 所以 2 - 1 < t < 1 + 2 = 3,所以 1 < t < 3. 又△ABC 是钝角三角形,且 C 是最大角, 所以 90° < C < 180°. 所以 cos C < 0, 所以 cos C = a 2 + b2 - c2 2ab = 5 - t2 4 < 0, 所以 t2 > 5. 又 t > 0,所以 t > 5. 所以 t 的取值范围为( 5,3) . 课堂检测·固双基 1. D　 由余弦定理得: c = 92 + (2 3) 2 - 2 × 9 × 2 3 × cos 150° = 147 = 7 3 . 2. C　 由 cos A = b 2 + c2 - a2 2bc = - 1 2 ,∴ A = 120°. 3. C　 由c 2 - a2 - b2 2ab > 0 得 - cos C > 0,所以 cos C < 0,从而 C 为钝角,因 此△ABC 一定是钝角三角形. 4. 5π6 　 cos B = c2 + a2 - b2 2ca = 3 + 1 - 7 2 × 3 × 1 = - 32 , 又 B∈(0,π),∴ B = 5π6 . 5. 在△ABC 中, ∵ A + C = 2B,A + B + C = 180°,∴ B = 60°. 由余弦定理,得 b2 = a2 + c2 - 2accos B = ( a + c) 2 - 2ac - 2accos B = 82 - 2 × 15 - 2 × 15 × 12 = 19. ∴ b = 19 . 9. 2　 正弦定理与余弦定理的应用 9.3　 数学探究活动:得到不可达两点之间的距离 必备知识·探新知 　 　 知识点　 基线　 仰角　 俯角　 方向角　 方位角　 视角　 水平面 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1)60　 (2) 5 km (1)tan 30° = CDAD,tan 75° = CD DB, 又 AD + DB = 120,∴ AD·tan 30° = (120 - AD)·tan 75°, ∴ AD = 60 3,故 CD = 60. (2)在△ACD 中,∠ACD = 120°,∠CAD = ∠ADC = 30°, ∴ AC = CD = 3 km. 在△BCD中,∠BCD =45°,∠BDC =75°,∠CBD =60°, ∴ BC = 3sin 75°sin 60° = 6 + 2 2 . 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC·BC·cos∠ACB = ( 3) 2 + ( 6 + 22 ) 2 - 2 3· 6 + 22 ·cos 75° = 5. ∴ AB = 5(km) . 故 A、B 之间的距离为 5 km. 　 　 对点练习 1:(1)A　 (2)20 6 m (1)在△BCD 中,∠CBD = 180° - 30° - 105° = 45°, 由正弦定理得 BC sin 30° = CD sin 45°,则 BC = CDsin 30° sin 45° = 6 4 a, 在△ACD 中,∠CAD = 180° - 60° - 60° = 60°, 所以△ACD 为等边三角形. 因为∠ADB = ∠BDC, 所以 BD 为正△ACD 的