第九章 9.1 正弦定理与余弦定理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

数学（必修·第四册 RJB） 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第九章　 解三角形 9. 1　 正弦定理与余弦定理 9. 1. 1　 正弦定理 第 1 课时　 正弦定理 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 12 bcsin A　 1 2 acsin B 　 　 知识点 2　 正弦　 bsin B　 c sin C 　 　 知识点 3　 sin A ∶ sin B ∶ sin C 　 　 知识点 4　 元素　 解三角形 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:B　 S = 12 absin C = 1 2 × 4 × 3 × 3 2 = 3 3,故选 B. 　 　 对点练习 1:2 3　 ∵ cos C = 13 ,∴ sin C = 1 - 1 3( ) 2 = 2 23 , 又 S△ABC = 1 2 absin C = 1 2 × 3 2·b· 2 2 3 = 4 3, ∴ b = 2 3 . 　 　 典例 2:3 + 3　 ∵ A = 75°,B = 45°,∴ C = 180° - (A + B) = 60°. ∵ asin A = c sin C,∴ a = csin A sin C = 3 2sin 75° sin 60° = 2 6sin 75°. ∵ sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = 6 + 2 4 ,∴ a = 3 + 3. 　 　 对点练习 2:(1)A　 (2) 63 (1)A = 180° - B - C = 45°, 由正弦定理得 a sin A = b sin B,∴ b = asin B sin A = 8 × 32 2 2 = 4 6 . (2)由题意,因为 B = 45°,C = 60°,所以 A = 180° - B - C = 75°, 最短边为 b,由正弦定理,得 b = csin Bsin C = 1 × sin 45° sin 60° = 6 3 . 　 　 典例 3:∵ A 为锐角,bsin A = 6sin 30° = 3 < a < b, ∴ 本题有两解, ∵ sin B = bsin Aa = 3 2 ,∴ B = 60°或 120°, 当 B = 60°时,C = 90°,c = asin Csin A = 2 3sin 90° sin 30° = 4 3; 当 B = 120°时,C = 30°,c = asin Csin A = 2 3sin 30° sin 30° = 2 3; 综上,B = 60°,C = 90°,c = 4 3或 B = 120°,C = 30°,c = 2 3 . 　 　 对点练习 3:(1) π6 　 (2) π 3 或 2π 3 (1)由 sin B + cos B = 2,得 sin B + π4( )=1,由B∈(0,π),得B = π 4 , 由正弦定理, asin A = b sin B,得 sin A = asin B b = 1 2 ,又 a < b,所以 A = π 6 . (2)由正弦定理,sin A = asin Bb = 3 × 22 2 = 32 , 又 A∈(0,π),a > b,∴ A > B,∴ A = π3 或 2π 3 . 易错警示 　 　 典例 4:30° 　 由正弦定理,得 sin B = b × sin Aa = 2 × sin 60° 2 3 = 12 . 因为 0° < B < 180°,所以 B = 30°或 B = 150°. 因为 b < a,根据三角形中大边对大角可知 B < A, 所以 B = 150°不符合条件,应舍去,所以 B = 30°. 　 　 对点练习 4:C　 在△ABC 中,由正弦定理,得 asin A = b sin B, 即 2 sin A = 3 sin 60°,∴ sin A = 2 × 32 3 = 22 . ∵ a < b,∴ A < B,∴ A = 45°. 课堂检测·固双基 1. B　 2. A 3. B　 在△ABC 中,A = 60°,B = 45°,AC = 2 3 . 由正弦定理,得 BCsin A = AC sin B,∴ BC 3 2 = 2 3 2 2 ,解得 BC = 3 2 . 故选 B. 4. 5 23 　 由正弦定理,得 a sin A = b sin B,∴ a 1 3 = 5 sin π4 ,解得 a = 5 23 . 5. 2 5 第 2 课时　 正弦定理的应用 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 2R　 2R 证明:只需证 a = 2Rsin A. ①若 A 为直角(如图 1 所示),在 Rt△BAC 中,可直接得 a