练案1 9.1.1 第1课时 正弦定理-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

▲ 157 ▲ ▲ 158 ▲ 　 　 　 　 　 练练练案案案及及及考考考案案案部部部分分分 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 详详详解解解答答答案案案 [练案部分] 练案[1] A 组　 素养自测 1. C　 由正弦定理 asin A = b sin B,得 5 1 2 = 15sin B, ∴ sin B = 32 . ∵ b > a,∴ B = 60°或 B = 120° . 当 B = 60°时,C = 90°,此时 c = 2 5 . 当 B = 120°时,C = 30°,此时 c = a = 5 . 故选 C. 2. B　 由 asin A = b sin B,知 3 1 3 = 5sin B,即 sin B = 5 9 ,选 B. 3. A　 由已知,得 32 = 1 2 × 2 × 3 × sin A,∴ sin A = 3 2 . 4. B　 由已知,∠C = 30°,由正弦定理 csin C = b sin B,解得 c = 2. 5. BD　 由正弦定理可知,B、D 正确. 6. 2　 在△ABC 中,∠A = 75°,∠B = 45°,所以∠C = 60°, 由正弦定理知 AC sin B = AB sin C, 所以 AC = ABsin Bsin C = 6 × sin 45° sin 60° = 2. 7. 12 　 因为 A + B + C = 180°,且 A + C = 2B,所以 B = 60°, 由正弦定理得 sin A = asin Bb = 1 × sin 60° 3 = 12 . 8. 1　 由 ac = sin A sin C,得 sin C = 1 2 ,所以 C = B = π 6 , 所以 b c = sin B sin C = 1. 9. 由正弦定理得,sin C = csin Bb = 2sin 30° 2 = 22 , ∵ c > b,0° < C < 180°,∴ C = 45°或 135°. 当 C = 45°时,A = 105°, ∴ a = bsin Asin B = 2sin 105° sin 30° = 3 + 1. 当 C = 135°时,A = 15°, ∴ a = bsin Asin B = 2sin 15° sin 30° = 3 - 1. 10. ∵ cos B2 = 2 5 5 ,∴ cos B = 2cos 2 B 2 - 1 = 3 5 . ∴ sin B = 45 . ∵ C = π4 , ∴ sin A = sin(B + C) = sin Bcos C + cos Bsin C = 7 210 . ∵ asin A = c sin C,∴ c = asin C sin A = 2 7 2 10 × 22 = 10 7 . ∴ S = 12 acsin B = 1 2 × 2 × 10 7 × 4 5 = 8 7 . B 组　 素养提升 1. B　 根据正弦定理,得sin Aa = sin B b . 由已知得 sin B b = cos A a ,∴ sin A a = cos A a , ∴ sin A = cos A,∴ tan A = 1. 又 0 < A < π,∴ A = π4 . 2. D　 由正弦定理,得 c = asin Csin A = 2,∵ B = 180° - 30° - 45° = 105°, sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60°cos 45° + cos 60°sin 45° = 6 + 24 , ∴ S△ABC = 1 2 acsin B = 3 + 1 4 . 3. AC　 由正弦定理可知 asin A = b sin B, ∴ sin B = bsin Aa = 2 3 × 12 2 = 3 2 , ∵ B∈(0°,180°),∴ B = 60°或 120°. 4. B　 因为 a = 2,c = 2, 所以由正弦定理可知, 2sin A = 2 sin C,故 sin A = 2sin C, 又 B = π - (A + C), 故 sin B + sin A(sin C - cos C) = sin(A + C) + sin Asin C - sin Acos C = sin Acos C + cos Asin C + sin Asin C - sin Acos C = (sin A + cos A)sin C = 0. 又 C 为△ABC 的内角,故 sin C≠0,则 sin A + cos A = 0,即 tan A = - 1. 又 A∈(0,π),所以 A = 3π4 . 从而 sin C = 1 2 sin A = 22 × 2