第四章 指数函数与对数函数知识总结

第四章 指数函数与对数函数 知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数 名称 指数函数 定义 ( 0 1 ) ( 0 1 )函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 ( 0 1 ) ( 0 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 知识点五：函数、方程的有关问题 1．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 要点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 知识点六：函数的实际应用 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型