专题05 函数性质压轴小题-【备考集训】2021-2022学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

专题05 函数性质压轴小题 训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结 1. 常规：奇偶性和单调性基础应用。如第1题 1. 难题：构造函数，生成新函数，寻找是否具有奇偶性和单调性。如第2题 1. 难点扩展: 广义的奇函数（中心对称），广义的偶函数（轴对称）。如第3题 1. “放大镜函数”：函数数形结合一个画图难点。如第4题 1. 函数性质与恒成立，是函数综合应用的热点和难点，如第5题 1. 复合二次型函数，换元→双坐标系→研究交点和方程的根（根的分布）。如第6题 1. 抽象函数恒等式应用：（1）奇偶性；(2)单调性；（3）特殊值赋值；（4）定义域内解不等式。如第7题 1. 含参讨论，繁琐的讨论分类是难点，寻找合适的讨论点。如第8题 1. 研究以对勾函数，高斯函数为代表的“特殊”函数，如第9,、10题 1. k保值区间函数及其性质，如第11题 专题集训题选 1.已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 题目比较综合，先要通过的奇偶性，列出关于的方程组，用方程组的方法求出关于的解析式，，可以变形为，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在单调递增，最后根据新函数在区间的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围 【详解】 由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以 将代入得： 联立 解得： ，等价于， 即：，令，则在单增 ①当时，函数的对称轴为，所以在单增 ②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得： ③当时，单增，满足题意 综上可得： 故选：C 2.若，则（ ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】 由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解 【详解】 构造函数， 由， 可得，，且定义域为， 是奇函数，，又易得为上的单调递增函数 故选：B 3.已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】 由已知可得函数的对称性，然后结合函数在单调递减，所以可判断在定义域上的单调性，进而利用单调性可解. 【详解】 解：，则关于对称，因为在单调递减，∴在上单调递减， 又∴，∴， ∴或，故选：D. 4.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围. 【详解】 当时，，故， 因为， 故当时，，， 同理，当时，，依次类推，可得当时，，其中.所以当时，必有.如图所示，因为当时，的取值范围为， 故若对任意，都有，则，令，或， 结合函数的图象可得，故选：D. 5.已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2） 【答案】B 【分析】 先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：时，，根据增函数的定义推得函数在上是增函数，从而求得最大值为，然后将已知不等式先对恒成立，再对恒成立，就可以求出的范围 【详解】 解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立， 所以将换为，可得，所以函数在上是增函数， 所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于， 即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，则，即， 解得或，故选：B 6.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是（ ） A．-9 B．-7 C．-6 D．-4 【答案】C 【分析】 画出函数的图象，对，分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出． 【详解】 解：函数的图象如图所示， ①当时，化为，当时，， 由于关于的不等式恰有1个整数解，因此其整数解为2，又， ，，则，当时．由于关于的不等式恰有1个整数解， 因此其整数解为，又，，，则， ②当时，对于，，解得， 只考虑，则，由于时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，，舍去．可得：实数的最小值是．故选：C． 7.若且函数在上单调，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集. 【详解】 令，所以，所以， 令