专题05 圆锥曲线小题综合复习-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019选择性必修第一册)

专题05 圆锥曲线小题综合复习 知识与技巧典型题一：中点弦和定义 AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 1.已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程. 【详解】 方法一：由长轴长为4得，解得， 设，直线l方程为，，， 则，，由得，，即， 所以①，又P在椭圆上，所以，即， 代入①式得，即， 因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，所以，解得， 所以所求椭圆方程为．故选：D． 方法二：直接用第三定义可得：，再由a=2，直接得答案D 2.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得的关系，再由离心率公式可求解. 【详解】 解：过作于点，设， 因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，， 由双曲线的定义可得，所以， 同理可得，所以，即， 所以，因此， 在直角三角形中，， 所以，所以，则. 故选：A. 知识与技巧典型题二：焦点三角形 1、 焦点：涉及到椭圆双曲线定义 2、 三角形：会涉及到余弦定理或者正弦定理解三角形 1.已知点分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 如图根据题意可得，在中利用余弦定理可得，再根据的范围，从而求得的范围. 【详解】 如图所示，由已知可知是的角平分线，且，延长交于， 易知，由，所以， 又，，所以， 在中， 由的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以， 所以，解得.故选：D 2.设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】 求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率 【详解】 设，则，， ，.，在中，由余弦定理得，，， 化简可得，而，故，，， ，，是等腰直角三角形，， 椭圆的离心率 ，故答案为：. 知识与技巧典型题三：离心率 寻找等量关系，构造a,b,c的齐次式子。 1.如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解. 【详解】 如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形， 设，则，，， 在中，，解得或m＝0（舍去）， 从而有，中，，整理得，， 所以双曲线E的离心率为．故选：B 2.椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项. 【详解】 设， 因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 设中点为H，则，，， 代入数据并整理得：， 等式两边同除以得：，解得：或(舍). 故选：A. 知识与技巧典型题四：焦点弦→定比分点 1.已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到，代入上式，可得，求得，即可求解. 【详解】 由题意，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，即，可得， 代入上式，可得， 可得， 整理得，即， 又由，可得，即， 所以，可得，即. 故选：C. 2.直线过椭圆：（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】椭圆的焦点在轴上，,， 故直线的方程为，即，直线（即）的斜率为， 过作的垂线，则为的中点，， ，是的中点，直线的斜率，，不妨令， 则，椭圆的离心率，故选D. 知识与技巧典型题五：焦点三角形的外接圆和内切圆 1.已知椭圆为