第二章 2.4 圆的方程（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1)由点到直线的距离公式,知 d = |2 × ( - 1) + 2 - 10 | 22 + 12 = 10 5 = 2 5. (2)方法 1:把直线方程化为一般式为 x - 2 = 0. 由点到直线的距离公式,得 d = | - 1 + 0 × 2 - 2 | 12 + 02 = 3. 方法 2:∵ 直线 x = 2 与 y 轴平行, ∴ 由图知 d = | - 1 - 2 | = 3. (3)方法 1:由点到直线的距离公式,得 d = | - 1 × 0 + 2 - 1 | 02 + 12 = 1. 方法 2:∵ 直线 y - 1 = 0 与 x 轴平行, ∴ 由图知 d = |2 - 1 | = 1. 　 　 对点训练 1:(1)D　 (2)A (1)由题可知,1 = |3 + 3m - 4 | 1 + 3 , 解得 m = 3或 - 33 . 故选 D. (2)最小值即为 O 到直线 x + y - 1 = 0 的距离,即 d = 1 2 = 22 , 选 A. 　 　 典例 2:(1)D　 (2)A (1)由题意,直线 3x + 2y - 3 = 0 和直线 6x + my + 1 = 0 平行,则 3 6 = 2 m ,即 m = 4. 所以对应直线方程为 6x + 4y + 1 = 0. 又直线 3x + 2y - 3 = 0 可化为 6x + 4y - 6 = 0, 所以两平行线之间的距离为 d = | - 6 - 1 | 62 + 42 = 7 52 = 7 1326 ,故选 D. (2)直线 l1:x - y + 1 = 0 与 l2:3x + ay - c = 0( c > 0)平行,故有 a = - 3, 平行线 l1:3x - 3y + 3 = 0 与 l2:3x - 3y - c = 0( c > 0)之间的距离为 |3 + c | 32 + 32 = 2,解得 c = 3 或 c = - 9(舍), 则 a - 3 c = - 3 - 3 3 = - 2. 故选 A. 　 　 对点训练 2:方法 1:∵ l1∥l2, ∴ 可设 l1 的方程为 x + y + c = 0. 在直线 l2 上取一个点,如(1,0),则点(1,0)到直线 l1 的距离等于 2,从而 |1 + c | 1 + 1 = 2,∴ | c + 1 | = 2. ∴ c = 1 或 c = - 3. ∴ l1 的方程为 x + y + 1 = 0 或 x + y - 3 = 0. 方法 2:∵ l1∥l2,∴ 可设 l1 的方程为 x + y + c = 0. ∴ l1 与 l2 的距离为 | c - ( - 1) | 1 + 1 = 2, | c + 1 | = 2. ∴ c = 1 或 c = - 3. 从而 l1 的方程为 x + y + 1 = 0 或 x + y - 3 = 0. 　 　 典例 3:A　 x2 + y2 = (x - 0) 2 + (y - 0) 2 表示点( x,y)与原点(0,0) 的距离的平方, 故等价于原点(0,0)到直线 x + y - 4 = 0 的距离的平方, 即 d = 4 2 = 2 2,∴ d2 = 8,故选 A. 　 　 典例 4:(1)根据题意,A(5,1),B(7, - 3),则 kAB = 1 - ( - 3) 5 - 7 = - 2, 又由 AB∥CD 知,kCD = - 2,则直线 CD 的方程为 y + 8 = - 2( x - 2),即 2x + y + 4 = 0. 令 y = 0,解得 x = - 2,则 D( - 2,0) . (2)因为 | AB | = 2 5, | CD | = 4 5,AB∥CD,故四边形 ABCD 为梯 形,点 A(5,1)到直线 CD:2x + y + 4 = 0 的距离为 |10 + 1 + 4 | 5 = 3 5,所以 四边形 ABCD 的面积 S = 12 × (2 5 + 4 5) × 3 5 = 45. 　 　 对点训练 3: x2 + y2 -2x -4y +5 = (x -1)2 + (y -2)2,表示直线 上的点(x,y)与点(1,2)的距离,其最小值即点(1,2)到直线 x + y - 4 = 0 的距离,故最小值为 |1 + 2 - 4 | 12 + 12 = 22 . 易错警示 　 　 典例 5:当直线 l 过点 A(1,2)且斜率不存在时,直线 l 的方程为 x = 1,原点到直线 l 的距离为 1,满足题意. 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时,由题意设直线 l 的方程为 y - 2 = k(x - 1),即 k