第二章 2.1 直线的倾斜角与斜率（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

新教材·高中新课程学习指导 m·EP→ = 0, m·EC→ = 0,{ 即 - y + 22 z = 0, - 32 x - 1 2 y = 0. ì î í ïï ïï 可取 m = - 33 ,1, 2( ). 由(1)知AP→ = 0,1, 22( )是平面 PCB 的一个法向量,记n = AP →, 则 cos〈n,m〉 = n·m|n |· |m | = 2 5 5 . 所以二面角 B - PC - E 的余弦值为2 55 . 　 　 典例 6:不共面. 显然 m,n 不共线,设 p = xm + yn,则 3a + 2b + c = x(a - b + c) + y(a + b - c) = (x + y)a + ( - x + y)b + (x - y)c. 因为 a,b,c 不共面,所以 x + y = 3, - x + y = 2, x - y = 1, { 而此方程组无解,所以 p 不能用 m,n 表示,即 p,m,n 不共面. 　 　 典例 7:方法 1:如图 1 所示,取 PC 的中点 E,连接 NE,则 MN→ = EN→ - EM→. ∵ EN→ = 12 CD → = 12 BA → = - 12 AB →, EM→ = PM→ - PE→ = 23 PC → - 12 PC → = 16 PC →. 连接 AC,则PC→ = AC→ - AP→ = AB→ + AD→ - AP→, ∴ MN→ = - 12 AB → - 16 (AB → + AD→ - AP→) = - 23 AB → - 16 AD → + 16 AP →. ∴ x = - 23 ,y = - 1 6 ,z = 1 6 . 方法 2:如图 2 所示,在 PD 上取一点 F,使 PF︰FD = 2︰1, 连接 MF,则MN→ =MF→ + FN→. MF→ = 23 CD → = - 23 AB →, FN→ = DN→ - DF→ = 12 DP → - 13 DP → = 16 DP → = 16 (AP → - AD→), ∴ MN→ = - 23 AB → - 16 AD → + 16 AP →,∴ x = - 23 ,y = - 1 6 ,z = 1 6 . 　 　 典例 8:(1)证明:如图所示, 过点 C,D 分别作 CP⊥AB,DQ⊥AB,垂足为 P,Q, 则四边形 CDQP 为矩形,PQ = 1. 在 Rt△BCP 中,可知∠B = 60°,则 BP = 12 BC = 1 2 ,同理可得 AQ = 1 2 ,∴ AB = 2. 在△ABC 中, AC2 = 12 + 22 - 2 × 1 × 2 × cos 60° = 3, ∴ AC2 + BC2 = AB2,∴ ∠ACB = 90°,∴ AC⊥ CB. 又∵ 平面 ACFE⊥平面 ABCD,平面 ACFE∩ 平面 ABCD = AC,∴ BC⊥平面 ACFE. (2)解:存在. 如图所示,建立空间直角坐标 系,则 A( 3,0,0),B(0,1,0),AB→ = ( - 3,1,0) . 设 M(a,0,1),则MB→ = ( - a,1, - 1) . 设平面 MAB 的法向量 m = (x,y,z), 则 m·AB→ = 0, m·MB→ = 0,{ ∴ - 3x + y = 0, - ax + y - z = 0,{ 取 m = (1, 3, 3 - a) . 取平面 FCB 的法向量 n = (1,0,0) . 故 cos〈m,n〉 = m·n|m | |n | = 1 1 + 3 + ( 3 - a) 2 . 由题意可得 1 4 + ( 3 - a) 2 = 55 ,a∈[0, 3], 解得 a = 3 - 1. 因此在线段 EF 上存在点 M( 3 - 1,0,1),使得 cos θ = 55 . 此时 FM = 3 - 1. 第二章　 直线和圆的方程 2. 1　 直线的倾斜角与斜率 2. 1. 1　 倾斜角与斜率 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 1. (1)正向　 2. 0°≤α < 180° 　 　 知识点 2　 1. 正切值　 tan α　 3. y2 - y1 x2 - x1 思考:由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有倾斜角;不同的 直线其倾斜角有可能相同,如平行的直线其倾斜角是相同的. 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:由题意画出如下草图. 由图可知: 当 α 为钝角时,倾斜角为 α - 90°, 当 α 为锐角时,倾斜角为 α + 90°, 当 α 为直角时,倾斜角为 0°. 综上,直线 l 转动前的倾斜角为 α + 90°(0° < α < 90°), α - 90°(90°≤α < 180°) .