考案(一) 第一章 空间向量与立体几何-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

▲ 221 ▲ ▲ 222 ▲ 3x2 - 10x + 3 = 0,∴ xA + xB = 10 3 ,故 | AB | = 1 + xA + 1 + xB = 2 + 10 3 = 16 3 . 7. 2　 本题考查了抛物线与直线的位置关系. 如图,由斜率为 3,∠BMx = 60°,可得 BP = 1 2 AB, 又AM→ =MB→,∴ M 为中点. ∴ BP = BM,∴ M 为焦点, 即 p 2 = 1,∴ p = 2. 8. 10　 由抛物线的定义可知,抛物线 y2 = 2px( p > 0)上的点 P(x0,y0)到焦点 F 的距离 | PF | = x0 + p 2 ,在 y 2 = 2x 中,p = 1,所以 | P1F | + |P2F | + … + |P10F | = x1 + x2 + … + x10 + 5p = 10. 9. (1)由题意得 2p = 4,所以抛物线方程为 y2 = 4x. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 MN 的方程为 x = t(y + 2) + 3, 代入抛物线方程得 y2 - 4ty - 8t - 12 = 0. 所以 Δ = 16t2 + 32t + 48 > 0,y1 + y2 = 4t,y1 y2 = - 8t - 12. 所以 k1·k2 = y1 - 2 x1 - 1 · y2 - 2 x2 - 1 = y1 - 2 y21 4 - 1 · y2 - 2 y22 4 - 1 = 16y1 y2 + 2(y1 + y2) + 4 = 16- 8t - 12 + 8t + 4 = - 2. 所以 k1·k2 为定值为 - 2. 10. (1)如图所示, 由 y2 = - x y = k(x + 1){ ,消去 x 得,ky 2 + y - k = 0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1· y2 = - 1,y1 + y2 = - 1 k . ∵ A、B 在抛物线 y2 = - x 上, ∴ y21 = - x1,y22 = - x2,∴ y21·y22 = x1 x2 . ∵ kOA·kOB = y1 x1 · y2 x2 = y1y2 x1x2 = 1y1y2 = -1,∴ OA⊥OB. (2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0. 令 y = 0,得 x = - 1,即 N( - 1,0) . ∵ S△OAB = S△OAN + S△OBN = 12 |ON | | y1 | + 1 2 |ON | | y2 | = 1 2 |ON |· | y1 - y2 | , ∴ S△OAB = 1 2 ·1· (y1 + y2) 2 - 4y1 y2 = 1 2 - 1 k( ) 2 + 4. ∵ S△OAB = 10, ∴ 10 = 12 1 k2 + 4,解得 k = ± 16 . B 组·素养提升 1. C　 当直线的斜率不存在时,其方程为 x = 1,∴ y21 = 4,y22 = 4,∴ y21 + y22 = 8. 当直线的斜率存在时,设其方程为 y = k(x - 1)(k≠0), 由 y = k(x - 1) y2 = 4x{ ,得 ky 2 - 4y - 4k = 0, ∴ y1 + y2 = 4 k ,y1 y2 = - 4,∴ y 2 1 + y22 = (y1 + y2) 2 - 2y1 y2 = 16 k2 + 8, ∵ k2 > 0,∴ y21 + y22 > 8, 综上可知,y21 + y22≥8,故 y21 + y22 的最小值为 8. 2. D　 由题意知,准线方程为 x = - 2,∴ p = 4, 抛物线方程:y2 = 8x,焦点坐标(2,0) . 设过 A 点的直线为 y = k(x + 2) + 3,联立 y2 = 8x y = k(x + 2) + 3,{ 化简得 y2 - 8k y + 24 k + 16 = 0 ① ∴ Δ = 64 k2 - 4 24k + 16( )= 0,∴ k = 1 2 ,k = - 2(舍去) . 将 k = 12 代入方程①,∴ y = 8,∴ x = 8. B 点坐标为(8,8) . ∴ kBF = 8 8 - 2 = 4 3 . 3. BCD　 方法 1:如图,F p2 ,0( ),直线 l 的斜 率为 3,则直线 l 方程为 y = 3 x - p2( ), 联立 y2 = 2px, y = 3 x - p2( ),{ 得 12x 2 - 20px + 3p2 = 0. 解得 xA = 3p 2 ,xB = p 6 . 由 |AB | = | AF | + | BF | = xA + xB + p = 8p 3 = 8,得 p =