考案(二) 第二章 直线和圆的方程-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

▲ 223 ▲ ▲ 224 ▲ ∴ AP→ = (3, - 2, - 1)或AP→ = ( - 3,2,1) . 设点 P 的坐标为(x,y,z),则AP→ = (x - 1,y,z - 3), ∴ x - 1 = 3, y = - 2, z - 3 = - 1 { 或 x - 1 = - 3, y = 2, z - 3 = 1, { 解得 x = 4, y = - 2, z = 2 { 或 x = - 2, y = 2, z = 4. { 故点 P 的坐标为(4, - 2,2)或( - 2,2,4) . 10. ABC　 因为 E 为 BC 的中点,所以AE→ = DE→ - DA→ = 12 (DB → + DC→) - DA→,因 为在三棱锥 A - BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且 DB = DC,所以AE→·BC→ = 12 (DB → + DC→) - DA→[ ]·(DC→ - DB→) = 12 (DC →2 - DB→2) = 0. 所以 AE 和 BC 垂直. 又 AE,BC 显然相交,故选 ABC. 11. ABC　 因为PM→ = (0,2,4),直线 l 平行于向量 a,若 n 是平面 α 的一个法 向量,则必须满足PM→与法向量垂直且满足 a 与法向量垂直,把选项代入 验证,只有选项 D 不满足,故选 ABC. 12. AD　 以 B 为坐标原点,分别以BD→,BC→的方向 为 x 轴,y 轴的正方向建立空间直角坐标系, 如图所示. 设 BD = 2,则 B(0,0,0),D(2,0, 0),C(0,2 3,0),A(0, 3, 3),∴ BD→ = (2,0, 0),AC→ = (0, 3, - 3 ),BC→ = (0,2 3,0), AD→ = (2, - 3, - 3),DC→ = ( - 2,2 3,0) . ∴ BD→·AC→ = (2,0,0)·(0, 3, - 3) = 0,A 正确;易得平面 BCD 的一个法向量为 n1 = (0,0, 3),平面 ACD 的一个法 向量为 n2 = ( 3,1,1),n1·n2≠0,B 错误; |cos〈BC→,AD→〉 | = BC →·AD→ |BC→ | |AD→ | = |(0,2 3,0)·(2, - 3, - 3) | 2 3 × 10 = 310 ≠ 1 2 ,C 错误;易得平面 ABC 的一个法向量为BD→ = (2,0,0),设直线 DC 与平面 ABC 所成的角为 θ,则 sin θ = DC →·BD→ |DC→ |· |BD→ | = 4 4 × 2 = 1 2 ,故 D 正确. 13. 12 　 由于AF → = AD→ + DF→ = AD→ + 12 (DC → + DD1→) = AD→ + 12 AB → + 12 AA1 →,所 以 m = 12 ,n = - 1 2 . 14. 2　 由三点共线,得向量AB→与AC→共线,即AB→ = k AC→,(3,4, - 8) = k( x - 1, y + 2,4),x - 13 = y + 2 4 = 4 - 8,解得 x = - 1 2 ,y = - 4,∴ xy = 2. 15. 33 　 正方体 AC1 中,∵ DD1⊥底面 ABCD, ∴ ∠DBD1 即为 BD1 与底面 ABCD 所成角,易知 BD1 = 3, ∴ sin∠DBD1 = 3 3 ,故答案为 3 3 . 16. 102 　 如图,过 B、D 分别向 AC 作垂 线,垂足分别为 M、N. 则可求得 AM = 1 2 、BM = 3 2 、CN = 1 2 、DN = 3 2 、MN = 1. 由于BD→ = BM→ +MN→ + ND→, ∴ |BD→ |2 = (BM→ +MN→ +ND→)2 = |BM→ |2 + |MN→ |2 + |ND→ |2 + 2(BM→·MN→ + MN→ ·ND→ + BM→·ND→) = 3 2( ) 2 + 12 + 3 2( ) 2 + 2(0 + 0 + 0) = 52 , ∴ |BD→ | = 102 . 17. (1)因为 a∥b,所以 x- 2 = 4 y = 1 - 1,解得 x = 2,y = - 4, 则 a = (2,4,1),b = ( - 2, - 4, - 1) . 又 b⊥c,所以 b·c = 0,即 - 6 + 8 - z = 0, 解得 z = 2,于是 c = (3, - 2,2) . (2)由(1)得 a + c = (5,2,3),b + c = (1, - 6,1), 设 a + c 与 b + c 的夹角为 θ,因为 cos θ = 5 - 12 + 3 38· 38 = - 219 . 所以 a