第一章 空间向量与立体几何 章末知识梳理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） 课堂检测·固双基 1. C　 l 与 α 所成的角即为 a 与 b 所成的角(或其补角),因为 cos〈a,b〉 = a·b| a | | b | = 1 2 ,所以〈a,b〉 = 60°. l 与 α 所成的角为 60°. 2. A　 由已知得直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量所夹锐角为 60°,因 此 l 与 α 所成的角为 30°. 3. D　 ∵ cos〈a1,a2〉 = a1·a2 |a1 | |a2 | =1 -2 -1 3· 6 = -2 3 2 = - 23 . ∴ cos θ = 23 . 4. 21030 　 以 O 为原点,射线 OA,OB,OP 为 x, y,z 轴建立空间直角坐标系,如图, 设 AB = a,则 OP = 142 a, OD→ = - 24 a,0, 14 4 a( ),可求得平面 PBC 的 法向量为 n = - 1,1, 17( ), 所以 cos〈OD→,n〉 = OD →·n |OD→ | |n | = 210 30 , 设OD→与平面 PBC 所成的角为 θ,则 sin θ = 21030 . 5. 以 B 为原点,以直线 BC,BA,BP 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系. 则 P(0,0,3),A(0,3,0),D(3,3,0) . 设平面 EBD 的一个法向量为 n1 = (x,y,z), 因为BE→ = BP→ + PE→ = BP→ + 23 PA → = (0,0,3) + 23 (0,3, - 3) = (0,2,1),BD → = (3,3, 0), 由 n1·BE → = 0, n1·BD → = 0,{ 得 2y + z = 0, 3x + 3y = 0.{ 取 z = 1,所以 x = 12 , y = - 12 . { 于是 n1 = 1 2 , - 1 2 ,1( ). 又因为平面 ABE 的一个法向量为 n2 = (1,0,0), 所以 cos〈n1,n2〉 = 1 2 3 2 = 66 . 设平面 ABE 与平面 DBE 的夹角为 θ, 则 cos θ = | cos〈n1,n2〉 | = 6 6 ,故所求夹角的余弦值为 6 6 . 章末知识梳理 要点专项突破 　 　 典例 1:(1)1　 14 　 (2)CD (1)由题意知AE→ = AA1→ + A1E→ = AA1→ + 14 A1C1 → = AA1→ + 14 ( AB → + AD→),从而有 x = 1,y = 14 . (2)容易推出:SA→ - SB→ + SC→ - SD→ = BA→ + DC→ = 0,所以 C 正确;又因为 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,SA = SB = SC = SD = 2,所以SA→·SB→ = 2 × 2 × cos∠ASB,SC→·SD→ = 2 × 2 × cos∠CSD,而∠ASB = ∠CSD,于是 SA→·SB→ = SC→·SD→,因此 D 正确,AB 不正确,故正确的选项是 CD. 　 　 典例 2:(1)B　 (2)A (1)∵ b = 12 x - 2a, ∴ x = 2b + 4a = 2( - 4, - 3, - 2) + 4(2,3, - 4) = ( - 8, - 6, - 4) + (8,12, - 16) = (0,6, - 20) . (2)a + b = (2, 2,2 3),a - b = (0, 2,0), ∴ a = (1, 2, 3),b = (1,0, 3), ∴ cos〈a,b〉 = a·b| a | | b | = 1 + 3 6 × 2 = 63 . 　 　 典例 3:(1)证明:以 A 为原点,以 AB,AD, AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系,则 B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), C(2,2,0),M(1,1,1), ∵ BM→ = (0,1,1),平面 PAD 的一个法向量 为 n = (1,0,0),∴ BM→·n = 0,即BM→⊥n, 又 BM⊄平面 PAD, ∴ BM∥平面 PAD. (2)由(1)知,BD→ = ( - 1,2,0),PB→ = (1,0, - 2), 假设平面 PAD 内存在一点 N,使 MN⊥平面 PBD. 设 N(0,y,z),则MN→ = ( - 1,y - 1,z - 1), 从而 MN⊥BD,MN⊥PB, ∴ MN→·BD→ = 0, MN→·PB→ = 0,{ 即 1 + 2(y - 1) = 0, - 1 - 2( z - 1) = 0,{ ∴ y = 12 , z = 12 , { ∴ N 0, 12 , 1 2( )