第一章 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

新教材·高中新课程学习指导 = - 12 b + 1 2 (a + c - 2b) = 1 2 a - 3 2 b + 1 2 c. 1. 3　 空间向量及其运算的坐标表示 1. 3. 1　 空间直角坐标系 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 1. (1) x 轴、y 轴、z 轴　 空间直角坐标系 Oxyz　 (2)O　 每两个坐标轴　 Oxy　 Oyz　 Ozx　 2. x 轴　 y 轴　 z 轴 思考1:可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化,将空 间位置关系解析化. 　 　 知识点 2　 有序实数组(x,y,z) 　 A(x,y,z) 　 x　 y　 z 思考 2:x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为 0,即(x,0,0) . y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为 0,即(0,y,0) . z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为 0,即(0,0,z) . 　 　 思考 3:点 A 在空间直角坐标系中的坐标为( x,y,z),那么向量OA→的 坐标也为(x,y,z) . 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:如图,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. 所以 D(0,0,0) . 因为长方体的棱长 AD = 3,DC = AB = 5,DD1 = AA1 = 4,因为点 A 在 x 轴上,且 AD = 3,所以OA→ = 3i + 0j + 0k,所以 A(3,0,0) . 同理:C(0,5,0),D1(0,0,4) . 点 B 在 x 轴,y 轴,z 轴射影分别为 A,C,O,它们在坐标轴上的坐标 分别为 3,5,0,所以点 B 的坐标为(3,5,0) . 同理得 A1(3,0,4),C1(0,5,4) . 由 B1 在 Oxy 平面内的射影为 B(3,5,0), 所以 B1 的横坐标为 3,纵坐标为 5, 因为 B1 在 z 轴上的射影为 D1(0,0,4), 所以 B1 的竖坐标为 4,所以点 B1 的坐标为(3,5,4) . 　 　 对点训练 1:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系,E 点在 Dxy 平面中,且 | EA | = 1 2 . 所以DE→ = i + 12 j + 0k,所以 E 点的坐标为 1, 12 ,0( ). 同理 B 点和 B1 点的坐标分别为(1,1,0) 和(1,1,1), 又因为 F 是 BB1 的中点,故 F 点坐标为 1,1, 12( ). 同理可得 G 点坐标为 1, 12 , 1 2( ). 　 　 典例 2:由已知 AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥ OB,从而建立以OA→,OB→,OO1→方向上的单位向量 i,j,k 为正交基底的空间直角坐标系 Oxyz,如图, 则OA→ = 4i,OB→ = 2j,OO1→ = 4k, DO→ = - OD→ = - (OO1→ + O1D→) = - OO1 → + 12 (OA → + OB→)[ ] = - OO1 → - 12 OA → - 12 OB → = - 2i - j - 4k, 故DO→的坐标为( - 2, - 1, - 4) . A1B → = OB→ - OA1→ = OB→ - (OA→ + AA1→) = OB→ - OA→ - AA1→ = - 4i + 2j - 4k,故A1B →的坐标为( - 4,2, - 4) . 即DO→ = ( - 2, - 1, - 4),A1B→ = ( - 4,2, - 4) . 　 　 对点训练 2:因为 PA = AB = AD = 1,PA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,以 AD,AB,AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示. 因为BC→ = AD→ = 0i + 1j + 0k = (0,1,0), CD→ = - AB→ = - i + 0j + 0k = ( - 1,0,0), MN→ =MA→ + AP→ + PN→ = - 12 AB → + AP→ + 12 PC → = - 12 AB → + AP→ + 1 2 (PA → + AC→) = - 12 AB → + AP→ + 12 (PA → + AB→ + AD→) = 12 AD → + 12 AP → = 1 2 j + 1 2 k = 0, 1 2 , 1 2( ). 　 　 典例 3:(1)由于点 P 关于 x 轴对称后,它在 x 轴的分量不变,在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为( - 2, - 1, - 4) . (2)由于点 P 关于 Oxy 平面对称后,它在 x 轴、y 轴的分量不变,在 z 轴的