第一章 1.1 空间向量及其运算（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第一章　 空间向量与立体几何 1. 1　 空间向量及其运算 1. 1. 1　 空间向量及其线性运算 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 1. 大小　 方向　 2. 大小　 3. (1)有向线段　 4. 长度为 0 　 模为 1　 相等　 相反　 相同　 相等 思考 1:不一定. 单位向量的模虽然都为 1,但是方向各异. 　 　 思考2:可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和. 加法运算是对有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. 　 　 思考 3:不能. λa = 0⇔λ = 0 或 a = 0. 　 　 知识点 3　 1. a = λb　 2. 与向量 a 平行的非零向量 思考 4:不能.若 b =0,则对任意向量 a,c 都有 a∥b 且 b∥c. 思考 5:只需证明向量AB→,BC→(不唯一)共线即可. 知识点 4　 2. p = xa + yb 思考 6:是. 空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成 为同一平面内的两个向量. 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例1:②③　 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同, 也可能相反,故它们不一定相等; ②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量; ③正确,AD1 →与BC1→的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,AB→与CD→的模不一定相等,方向也不 一定相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,与AA1 →的模一定相等的向量是 A1A →,BB1→,B1B→,CC1→,C1C→,一共有 5 个. 　 　 对点训练 1:C　 当两向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量 必相等;但当两个向量相等时,它们的起点和终点均不一定相同,故① 错;根据向量相等的定义知不仅需要模相等,而且需要方向相同,故② 错;根据正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,向量AC →与A1C1→的方向相同,模也 相等,必有AC→ = A1C1→,故③正确;命题④显然正确;空间中任意两个单位 向量的模均为 1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错. 　 　 典例 2:①AC1 → = AB→ + BB1→ + B1C1→ = AB→ + AA1→ + AD→ = a + b + c. ②AP→ = AA1→ + A1D1→ + D1P→ = AA1→ + AD→ + 12 AB → = a + c + 12 b. ③A1N → = A1A→ + AB→ + BN→ = - AA1→ + AB→ + 12 AD → = - a + b + 12 c. 　 　 对点训练 2:B　 如图所示, 四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA→ = a,PB→ = b,PC→ = c,则PD→ = PA→ + AD→ = PA→ + BC→ = PA→ + (PC→ - PB→) = PA→ - PB→ + PC→ = a - b + c. 故选 B. 　 　 典例 3:证明:设AB→ = a,AD→ = b,AA1→ = c. 因为A1E → = 2 ED1→,A1F→ = 23 FC →, 所以A1E → = 23 A1D1 →,A1F→ = 25 A1C →, 所以A1E → = 23 AD → = 23 b,A1F → = 25 (AC → - AA1→) = 25 (AB → + AD→ - AA1→) = 25 a + 2 5 b - 2 5 c. 所以EF→ = A1F→ - A1E→ = 25 a - 4 15 b - 2 5 c = 25 a - 2 3 b - c( ). 又EB→ = EA1→ + A1A→ + AB→ = - 23 b - c + a = a - 2 3 b - c. ∴ EF→ = 25 EB →, 又∵ EF→与EB→有公共点 E,∴ E,F,B 三点共线. 　 　 对点训练 3:M、N 分别是 AC、BF 的中点,而四边形 ABCD、ABEF 都 是平行四边形, ∴ MN→ =MA→ + AF→ + FN→ = 12 CA → + AF→ + 12 FB →. 又∵ MN→ =MC→ + CE→ + EB→ + BN→ = - 12 CA → + CE→ - AF→ - 12 FB →, ∴ 12 CA → + AF→ + 12 FB → = - 12 CA → + CE→ - AF→ - 12 FB →. ∴ CE→ = CA→ + 2 AF→ + FB→ = 2(MA→ + AF→ + FN→) . ∴ CE→ = 2 MN→,∴ CE→∥MN→,即CE→与MN→共线.