第二章 直线和圆的方程 章末知识梳理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） ∴ x1 = - 4, y1 = 0,{ 或 x2 = 0, y2 = 2.{ ∴ 交点坐标为( - 4,0)和(0,2) . ∴ 两圆的公共弦长为 ( -4 -0)2 + (0 -2)2 =2 5. 解法二:两方程联立,得方程组 x2 + y2 - 2x + 10y - 24 = 0, x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0,{ 两式相减得 x - 2y + 4 = 0,即两圆相交弦所在直线的方程; 由 x2 + y2 - 2x + 10y - 24 = 0,得(x - 1) 2 + (y + 5) 2 = 50, 其圆心为 C1(1, - 5),半径 r1 = 5 2 . 圆心 C1 到直线 x - 2y + 4 = 0 的距离 d = |1 - 2 × ( - 5) + 4 | 1 + ( - 2) 2 = 3 5, ∴ 两圆的公共弦长为 2 r2 - d2 = 2 50 - 45 = 2 5 . 　 　 典例 4:(1)由题意:圆 C1:x2 + y2 - 2x + 10y - 24 = 0 与圆 C2:x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0 的交点 A( - 4,0),B(0,2) . 两式相减得:4x - 8y + 16 = 0,即 x - 2y + 4 = 0,所以弦 AB 所在的直线方程为 x - 2y + 4 = 0. 圆心在直 线 x + y = 0 上,设圆心为(a, - a),那么它到两交点 A,B 的距离相等,故 有(a + 4) 2 + a2 = a2 + (2 + a) 2,可得:a = - 3,即圆心( - 3,3),r2 = 10, 圆 C 的方程为(x + 3) 2 + (y - 3) 2 = 10. (2)当 k 存在时,设直线 l 的方程为 y - 1 = k(x + 4),即 kx - y + 1 + 4k = 0,直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6,即 9 = r2 - d2,所以 d2 = 1. 即 | - 3k - 3 + 1 + 4k | k2 + 1 = 1,可得:k = 34 ,所以直线 l 的方程为 3x - 4y + 16 = 0;当 k 不存在时,直线 l 的方程为 x + 4 = 0. 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6,符合题意. 故所求直线 l 的方程为 x + 4 = 0 或 3x - 4y + 16 = 0. 　 　 对点训练 3: (1) 由已知圆的方程可得:C1 (0,0),C2 (4,4),则 |C1C2 | = 4 2 = R + 1, 所以 R = 4 2 - 1. (2)因为 C1(0,0),C2(4,4),所以 P 为直线 C1C2 与圆 C1 的交点, 在第一象限. 联立 y = x, x2 + y2 = 1,{ 得 P 2 2 , 2 2( ) . 当直线斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k, 所以 l:kx - y + 22 (1 - k) = 0,则圆心 C1 到直线 l 的距离 d = 12 - 2 2( ) 2 = - 22 k + 2 2 1 + k2 ,解得:k = 0,此时直线方程为 y = 22 . 当 直线斜率不存在时直线方程为 x = 22 也满足条件,故所求直线 l 的方程 为 y = 22 或 x = 2 2 . 易错警示 　 　 典例 5:设所求圆 C 的方程为(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 . 由圆 C 与直线 y = 0 相切且半径为 4, 则圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a, - 4) . 已知圆(x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 9 的圆心 A 的坐标为(2,1),半径为 3. 由两圆相切,则 |CA | = 4 + 3 = 7 或 |CA | = 4 - 3 = 1. ①当圆心为 C1(a,4)时, (a - 2) 2 + (4 - 1) 2 = 72 或(a - 2) 2 + (4 - 1) 2 = 12(无解), 故可得 a = 2 ± 2 10,故所求圆的方程为(x - 2 - 2 10) 2 + (y - 4) 2 = 16 或(x - 2 + 2 10) 2 + (y - 4) 2 = 16. ②当圆心为 C2(a, - 4)时, (a - 2) 2 + ( - 4 - 1) 2 = 72 或(a - 2) 2 + ( - 4 - 1) 2 = 12 (无解),解 得 a = 2 ± 2 6. 故所求圆的方程为(x - 2 - 2 6) 2 + (y + 4) 2 = 16 或( x - 2 + 2 6) 2 + (y + 4) 2 = 16. 综上所述,所求圆的方程为(x - 2