第二章 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） 故端点 C 的轨迹方程是(x - 4) 2 + (y - 2) 2 = 10(x≠3,且 x≠5), 即另一个端点 C 的轨迹是以 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆,但除 去(3,5)和(5, - 1)两点. 　 　 典例 4:设 A(x1,y1),M(x,y),∵ AM = BA,且 M 在 BA 的延长线上, ∴ A 为线段 MB 的中点, 由中点坐标公式得 x1 = x + 2 2 , y1 = y 2 , { ∵ A 在圆上运动,将点 A 的坐标代入圆的方程,得 x + 22 + 1( ) 2 + y 2( ) 2 = 2, 化简得(x + 4) 2 + y2 = 8,∴ 点 M 的轨迹方程为(x + 4) 2 + y2 = 8. 　 　 对点训练 3:分析:求动点的轨迹方程即求动点的坐标( x,y)满足的 关系式. 可以建立点 P 与点 M 的坐标之间的关系,由点 P 的坐标满足方 程 x2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0,得点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨 迹方程. 也可以根据图形的几何特征,直接利用圆的定义求解. 解析:解法一:设点 M(x,y),点 P(x0,y0),则 x = x0 2 , y = y0 2 , { ∴ x0 = 2x,y0 = 2y.{ ∵ 点 P(x0,y0)在圆 C:x2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0 上, ∴ x20 + y 2 0 - 8x0 - 6y0 + 21 = 0. ∴ (2x) 2 + (2y) 2 - 8 × (2x) - 6 × (2y) + 21 = 0. 即点 M 的轨迹方程为 x2 + y2 - 4x - 3y + 214 = 0. 解法二:设点 M 的坐标为(x,y),连接 OC、PC,取线段 OC 的中点 A, 连接 MA. 圆 C 的方程可化为(x - 4) 2 + (y - 3) 2 = 4,圆心 C(4,3), |CP | = 2. 则点 A 的坐标为(2, 32 ) . 如图,在△OCP 中,M、A 分别是 OP、OC 的中点, 则 |MA | = 12 |CP |,即 |MA | =1.又当 O、C、P 三点共线时, |MA | = 1. ∴ 点 M 的轨迹是以 A 为圆心,1 为半径的圆. ∴ 点 M 的轨迹方程为(x - 2) 2 + (y - 32 ) 2 = 1. 易错警示 　 　 典例5:∵ 方程表示圆,∴ k2 + (2k) 2 - 4(2k2 + k - 1) > 0,即3k2 + 4k -4 < 0,解得 - 2 < k < 23 . 又∵ 点 O(0,0)在圆外,∴ 2k 2 + k - 1 > 0,解得 k > 12 或 k < - 1. 综上所述,k 的取值范围是( - 2, - 1)∪( 1 2 , 2 3 ) . 课堂检测·固双基 1. A　 方法一　 方程 x2 + y2 - 4x + 2y = 0,即(x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 5,所以 圆心为(2, - 1),半径为 5 . 方法二　 由方程 x2 + y2 - 4x + 2y = 0,知 D = - 4,E = 2,F = 0. 圆心为 - D2 , - E 2( ),即(2, - 1),半径为 D2 + E2 - 4F 2 = 5. 2. B　 圆 x2 + y2 - 2x + y + 14 = 0 化为标准方程为( x - 1) 2 + y + 12( ) 2 = 1,圆心坐标为 1, - 12( ),半径是 1,故选 B. 3. B　 将圆的一般方程化为标准方程得( x + 1) 2 + ( y - 2) 2 = 5,则圆心 为( - 1,2) . ∵ 直线过圆心,∴ 3 × ( - 1) + 2 + a = 0,∴ a = 1. 4. C　 由二元二次方程表示圆的条件,知( - 1) 2 + 12 - 4a > 0,解得 a < 1 2 . 5. 解法一:设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,则 4 + ( - 3) 2 + 2D + ( - 3)E + F = 0, ( - 2) 2 + ( - 5) 2 + ( - 2)D + ( - 5)E + F = 0, - D2 - 2· - E 2( )- 3 = 0, { ∴ D = 2, E = 4, F = - 5. { ∴ 圆的方程为 x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0. 解法二:设圆的方程为(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2,则 (2 - a) 2 + ( - 3 - b) 2 = r2, ( - 2 - a) 2 + ( - 5 -