专题11 成比例线段的证明与计算-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略（湘教版）

专题11 成比例线段的证明与计算的常用作辅助线的方法 【基础知识点】 在证明有关几何证明、计算过程中，常常需要通过平行线分线段成比例，相似三角形的对应边成比例得到比例关系。而有些题目中，这样的平行线，相似三角形并不十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造平行线，相似三角形进行证明。 【类型一】作平行线 【例1】已知：中，为的中点，为上一点，且．为上一点，且，交于，则________. 【答案】 【解析】分别作，平行于且与交于，两点． 则，， 又∵ 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ，平行于， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ . 【变式训练1】如图，中，，是中线，是上一点，作射线，交于点．若，则(        ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作，交于点，如图， 则， 则，， 所以， 则．  【变式训练2】 如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为(        ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作，交于点，如图， ， . 设，则. ，是的中点， ， ， . 【变式训练3】如图，是的中线，是上的一点，且，的延长线交于点．若，则________. 【答案】 【解析】作于， 可知是的中点，根据平行线分线段成比例定理可知， ∵ ， ∴ ， ， ， ∴ . 【类型二】作垂线【例2】如图，在中， ，是高，平分 分别与，相交于点，． 求证：； 若，，求的长． 证明：因为， 所以， 因为是的高， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以. 解：过点作于点， . ， ， . ， . 又， ， ， 即， ． 【变式训练】如图，在中，平分交于点为上一点，且的延长线交于点. 求证： 若，求的长. 证明：平分， . 又， ， ，  ， ， . 解：作于，作于， 则. . ， . 又 . 【类型三】作延长线 【例3】如图，在中，为的角平分线，交于点，垂足为点，且＝． （1）当＝时，求的度数； （2）求证：＝； （3）求证：＝． 解（1）∵ ＝ ∴ ＝＝， ∵ 平分， ∴ ＝＝， ∴ ＝＝， ∴ ＝＝， ∵ ， ∴ ＝＝； （2）设＝， ∴ ＝＝， ∵ 平分， ∴ ＝＝， ∴ ＝， ∴ ＝； （3）作交的延长线于点， 则＝，＝， ∵ 为三角形的角平分线，＝， ∴ ＝＝， ∴ ＝，＝， ∴ ＝，＝， ∴ ＝， ∴ ＝， 即＝， ∵ ，＝， ∴ ＝， ∴ ＝， ∴ ＝， ∴ ＝； 【变式训练】如图，中的平分线为，为的中点，过点作交的延长线于，交于． （1）求证：＝． （2）若＝，＝．＝，求的长． （1）证明：如图，过点作，交的延长线于点； ∴ ；而平分，， ∴ ＝，＝，＝， ∴ ＝，＝， ∴ ＝；而，＝， ∴ ＝， ∴ ＝． ∵ ＝，＝．＝， ∴ ＝，＝； ∵ 平分， ∴ ；解得：； ∵ 为的中点， ∴ ＝； ∵ ， ∴ ， 解得：＝． 【类型四】作相似三角形 【例4】如图，的对角线、相交于点，经过，分别交、于点、，的延长线交的延长线于． 求证：； 若，，，求的长． 证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ . 解：过点作交于， 则， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 解得．  【变式训练1】如图，已知点是边延长线上的一点，交边于点，交边于点，且，，，则长为________． 【答案】 解：过作交于，如图， ∴ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 【变式训练2】如图，已知＝，＝，则＝________． 【答案】 解：过作，交于， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ＝， ∴ ， 即＝， ∵ ＝， ∴ ＝， ∵ ， ∴ ， ∴ ，   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题11 成比例线段的证明与计算的常用作辅助线的方法 【基础知识点】 在证明有关几何证明、计算过程中，常常需要通过平行线分线段成比例，相似三角形的对应边成比例得到比例关系。而有些题目中，这样的平行线，相似三角形并不十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造平行线，相似三角形进行证明。 【类型一】作平行线 【例1】已知：中，为的中点