专题10 一元二次方程应用的几种类型-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略（湘教版）

专题10 一元二次方程应用的几种类型 【基础知识点】 列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么? 2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,找出相等关系列方程;4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 【类型一】增长率型：a(1±x)2＝b 【例1】某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率． 【解析】解决平均增长率(或降低的百分数)问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2＝b，求出所需要的量． 解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x. 根据题意，得60×(1－10%)(1＋x)2＝121.5，则(1＋x)2＝2.25， 解得x1＝0.5，x2＝－2.5(不合题意，舍去)． 答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%. 【变式训练1】某城市2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2016年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是(　 　) A．300(1＋x)＝363 B．300(1＋x)2＝363 C．300(1＋2x)＝363 D．363(1－x)2＝300 答案：B 【变式训练2】某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 . 答案：2（1+x)+2(1+x)2=8 . 【变式训练3】某家超市二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%，超市从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，求四、五月份的平均增长率． 解：设四、五月份的平均增长率为x，根据题意得：100(1－20%)(1＋x)2＝135.2，(1＋x)2＝1.69，1＋x＝±1.3，∴x1＝0.3，x2＝－2.3(不合题意，舍去)． 答：四、五月份的平均增长率为30%. 【类型二】利润问题（每每型）：单件利润×销售量＝总利润 【例2】将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润. （1）写出x与y之间的关系式； （2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？ 解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000. （2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000. 整理，得x2-40x+300=0. 解得x1=10,x2=30. 所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）. 当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）. 【变式训练1】某商场销售一批衬衫，每件成本40元，椐市场分析，若按每件80元销售，平均每天可售出20件．为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？衬衫的销售单价应定为多少元？ 分析：本题的主要等量关系：单件利润×销售量＝总利润． 解：若设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的销售定价为80－x元． 每件的销售利润/元 每天的销售量/件 总销售利润/元 降价前 40 20 800 降价后 40－x 20＋2x (40－x)(20＋2x) 方程为：(40－x)(20＋2x)＝1200. 原方程可化为x2－30x＋200＝0， 解得x1＝10，x2＝20. 由于要减少库存，即销售量要越多，所以需降价越多． 因此x＝20，此时衬衫的销售单价为每件60元． 【类型三】握手、单循环赛型：n(n-1) 【例3】小王大学毕业后光荣地被国家选派去援疆支教，他的亲戚或朋友到机场为小王送行，小王及父母与前来送行的客人一一握手，客人之间也相互握手，但小王及父母之间不握手，共有次握