精品解析：北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年高二10月统练数学试题（一）

2021-2022学年北京市人大附中高二（上）统练数学试卷（一）（10月份） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）. 1. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 正方体不在同一表面上的两顶点，，则正方体的体积是（ ） A. 4 B. C. 64 D. 5. 若z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 6. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ） A B. C. D. 7. 已知向量，，，若共面，则等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 8. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 10. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体“鳖臑” C. 四棱锥体积最大为 D. 过A点分别作于点E，于点F，则 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知空间向量，，若，则实数x值为______________. 12. 已知向量且，，，则值为______. 13. 已知a实数，若复数为纯虚数，则________． 14. 在棱长为1的正方体中，点M和N分别是正方形ABCD和的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足，其中m、n、，且，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是______． 15. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是_________．（填序号） ①异面直线与所成角的余弦值为， ②平面； ③直线与平面所成角的正弦值为； ④二面角的余弦值为． 三、解答题（共2小题，共25分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 16. 在三棱柱中，侧面为矩形，平面，，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD，E为CD的中点，M在AB上，且 （1）求证：EM∥平面PAD； （2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值； （3）点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长. 四、附加题：（本题满分10分） 18. 如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）． （1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明； （2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年北京市人大附中高二（上）统练数学试卷（一）（10月份） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）. 1. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点关于原点对称点坐标为，即可选出答案. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故选：C． 3. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 4. 正方体不在同一表面上的两顶点，，则正方体的体积是（ ） A. 4 B. C. 64 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意可知AB是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB，再根据正方体的棱长求出体积． 【详解】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点，， ∴AB是正方体的体对角线