第11讲 ：二次函数综合1-2021-2022学年九年级数学下册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 第11讲 二次函数综合 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 本节所讲的三个问题：1.二次函数与三角形的面积；2.二次函数与线段和差；3.二次函数与直角三角形。是二次函数考题中常出现的题型，而且常常是在二次函数的压轴题中出现。建议教师在教学中，可以采取一题多解的方式，从多个角度切入问题，以期帮助孩子形成有效地解题策略，要把典例讲透，要让学生有自己的反思，自己的总结，自己的收获。 二、知识讲解 知识点1 二次函数与三角形的面积 1.常用面积的处理方法： 2.坐标系中的铅锤法模型 知识点2 二次函数与线段和差 二次函数中的线段线段和差问题，常通过三角函数转移到竖直方向的和差或水平方向的和差，其中竖直方向的和差最重要，可以用上面点的纵坐标减去下面的点的纵坐标，极易出现二次式，也就是二次函数模型。为了便于学生记忆：我给它起了一个名字叫“定海神针”。 知识点3 二次函数与直角三角形 抛物线中出现直角三角形常见的处理方法： 已知:定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M（m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标. 1.两线一圆 在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准,比如:当以点A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；当以点B为直角顶点时,过点B作AB的垂线交x轴的点即为所求；当以点M为直角顶点时,只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点即为所求. 提示:两直线垂直,则其K值得乘积为-1,通过求垂线的解析式再求其与x轴的交点即可.（请学生完成做题过程） 2.“K型相似” 提示:竖直型,上减下；水平型,右减左.遇直角,构矩形,得相似,求结果.（请学生完成做题过程） 3.暴力法（两点间距离公式） 利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解.其基本解题思路是列点.列线.列式. 第一步,列出构建所求直角三角形的三个点,定点找到后,动点用参数表示其坐标； 第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性； 第三步,把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式,利用勾股定理的逆定理列出等式求解.注意:解出点的坐标应结合已知进行检验,若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去.（请学生完成做题过程） 注意:有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单,在一些综合题中一般要结合“K型相似”去做更简单一些. 三、例题精析 例题1 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D． （1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． B C D X O P A Y 例题2 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标； （2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围； （3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由． 例题3 如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE． （1）用含m的式子表示a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理