第一章 章末归纳提升 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

知识整合·思维导图 题型梳理·素养聚焦 [考点一]　数学运算、数学抽象——空间向量及其运算　 [例1]　(1)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是　________　. (2)如图，在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示. [解析]　(1) 容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. [答案]　③④ (2)连接AN，则＝＋.由已知ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b，又M分成的比为，故＝－＝－(a＋b)． 由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)，于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)． 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义． [考点二]　数学运算——空间向量的坐标运算　 [例2]　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　) A．(0,3，－6)　　　　　　 B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) (2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c. ①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值． [解析]　B　[(1)由b＝x－2a得x＝4a＋2b， 又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x＝(0,6，－20)．] (2)[解]　①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴，解得 ∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． ②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝，|b＋c| ＝＝， ∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝. 　熟记空间向量的坐标运算公式 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)向量夹角：cos〈a，b〉＝. (4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 则||＝. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算． [考点三]　逻辑推理——利用空间向量证明平行、垂直问题　 [例3]　四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD. [证明]　 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E. (1)＝，＝(a，a,0)． 设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即令x＝1，得n＝， 因为·n＝(a,0，－b)·＝0，所以⊥n，又PC⊄平面EBD，故PC∥平面EBD. (2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)， 又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)， 设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即得y1＝0，令x1＝1，则z1＝， 所以m＝，因为·m＝(0，a,0)·＝0， 所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD. (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． (2)证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线． 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． (3)证明面面平行的方法 转化为线线平行、线面平行处理． 证明这两个平面的法向量是共线向量． (4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． (5)证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． (6)证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直，证明两个平面的法向量互相垂直． [考点四]　直观想象、数学运算——利用空间向量求空间距离　 [例4]