2．3.1　两条直线的交点坐标&2．3.2　两点间的距离 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离 课程标准 素养解读 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 3.掌握两点间距离公式并会应用 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 2. 通过两点间距离的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养 [情境引入] 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线的交点　 1．两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l1，l2 l1∶A1x＋B1y＋C1＝0 l2∶A2x＋B2y＋C2＝0 点A在直线l1上 A1a＋B1b＋C1＝0 直线l1与l2的交点是A 2.两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 [知识点二]　两点间的距离公式　 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝. 2．两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝　|x2－x1|　. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝　|y2－y1|　. 　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？ [提示]　可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (2)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由得交点坐标为(1,2)，故选C.] 3．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为(　　) A．5　　 B.　　　C．3　　 D. 解析：B　[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.] 　　　两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组，得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 　　　经过两条直线交点的直线方程 [例2]　(1)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程； (2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点． [思路点拨]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，再将x＝1，y＝0代入求出λ，即得所求直线方程． (2)将直线方程改写为－x－y－1＋a(x＋2)＝0. 解方程组得直线所过定点． 解：(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0. ∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0. ∴λ＝.∴所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. (2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.所以，已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交