2．2.3　直线的一般式方程 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．2.3　直线的一般式方程 课程标准 素养解读 1.掌握直线的一般式方程 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化 通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 [情境引入] 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A(1,8)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,7； (3)经过两点P1(－1,6)，P2(2,9)； (4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°. 提示：(1)y－8＝x－1；(2)＋＝1；(3)＝；(4)y＝x＋7.如果我们画出这4条 直线的图象，你会惊奇地发现：这4条直线是重合的．事实上，它们的方程都可以化简为x－y＋7＝0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程． [知识梳理] [知识点一]　直线的一般式方程　 1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式． 2．直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 1.当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． [知识点二]　直线的一般式方程与其他形式的互化　 2.任何直线方程都能表示为一般式吗？ [提示]　能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(　　) (2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．(　　) (3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．(　　) (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　 B．60°　　　C．150°　　　D．120° 解析：C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.] 3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　________　. 解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 　　　直线的一般式方程 [例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. [思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2， 化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由两点式方程可知， 所求直线方程为＝， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 　直线的一般式方程的特征 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解：(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由点斜式方程，得y－2＝0. (3)由截距式方程，得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式方程，得＝，即x＋y－1＝0. 　　　由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 [例2]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x