2．2.1　直线的点斜式方程 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的点斜式的推导过程 2.掌握直线方程的点斜式并会应用 3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. [情境引入] 笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0，y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x，y)与点P0的坐标(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的点斜式方程和斜截式方程　 点斜式 斜截式 已知 条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距　b　 图示 方程 形式 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用 条件 斜率存在 　直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． [知识点二]　根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直　 　对于直线l1：y＝k1x＋b1, l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2; l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2.截距是距离吗？为什么？ [提示]　截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y轴所在直线方程为y＝0.(　　) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　　) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(　　) (4)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是(　　) A．y＝3x－2　　　 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 解析：D　[由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，选D.] 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析：D　[由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.] 　　　直线的点斜式方程 [例1]　已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程． [解]　因为直线l：y＝x－，所以该直线的斜率k＝. (1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝(x－3)． (2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3)． 　利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程； (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． [变式训练] 1．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行． 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)； (2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2； (3)y＝－1. 　　　直线的斜截式方程 [例2]　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(0，－2)，且与直线y＝3x－5垂直； (2)与直线y＝－2x＋3平行，与直线y＝4x－2在y轴上的截距相同． [思路点拨]　写出直线的斜率及在y轴上的截距，用斜截式写出直线方程． [解]　(1)因为直线y＝3x－5的斜率为3，且所求直线与该直线垂直，所以所求直线斜率为－ 又直线过点(0，－2)，由直线方程的斜截式，得y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0. (2)直线y＝－2x＋3的斜率为－2，直线y＝4x－2在y轴上的截距为－2. 由题意知，所求直线的斜率为－2，在y轴上的截距也为－2.由直线方程的斜截式，得y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0. 　斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线