2．1.1　倾斜角与斜率 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1倾斜角与斜率 课程标准 素养解读 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的倾斜角 　 定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，　x轴正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为　0°　 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的　倾斜程度　； (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的　倾斜角　，二者缺一不可 1.如图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点二]　直线的斜率　 定义(α为直 线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的　正切值　叫做这条直线的斜率 α＝90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示，即k＝　tan α　 范围 　R　 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的　倾斜程度　 [知识点三]　直线的斜率公式　 　如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率公式：k＝. 2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　　) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．45°　　 B．135°　　　C．0°　　　D．不存在 解析：B　[有倾斜角的定义知直线l的倾斜角为135°.] 3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 　　　直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出如草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 　　　斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m＝(　　) A．－2　　 B．0　　　C．2　　　D．4 (2)一条直线过点A(1.0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝＝tan＝－，故m＝－2. (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为＝－1， 故该直线的倾斜角为135°，故选：C. [答案]　(1