2．5.2　圆与圆的位置关系 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．5.2　圆与圆的位置关系 课程标准 素养解读 1.理解圆与圆的位置关系的种类 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系 通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 [情境引入] 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。 [知识梳理] [知识点一]　圆与圆的位置关系　 两圆相交 有两个公共点 两圆相切 外切 和内切 只有一个公共点 两圆相离 外离和 内含 没有公共点 [知识点二]　圆与圆位置关系的判定　 1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2 的关系 　d＞r1＋r2　 　d＝r1＋r2　 　|r1－r2|＜ 　d＜r1＋r2　 　d＝r1－r2　 　0＜d＜　 　|r1－r2|　 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 　将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？ [提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　 ) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　 ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　 ) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　 ) A．相离　 B．相交　　C．外切　　D．内切 解析：B　[圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．] 3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　________　. 解析：(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0，① 又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0，② ①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程． 答案：x＋3y＝0 　　　圆与圆的位置关系的判断 [例1]　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ [解]　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切． 当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交． |－1|＞5，即34＜k＜50时，两圆外离． 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． [变式训练] 1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　 ) A．相离　 B．相切　　C．相交　　D．内含 解析：C　[法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交． 法二：(代数法)联立方程 解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．] 　　　两圆相切问题 [例2]　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为