2．5.1　直线与圆的位置关系 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 课程标准 素养解读 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采． 这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离． 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们根据用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系． [知识梳理] [知识点一]　直线与圆有三种位置关系　 位置关系 交点个数 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 [知识点二]　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断　 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　两　个 　一　个 　零　个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d　＜　r d　＝　r d　＞　r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ　＞　0 Δ　＝　0 Δ　＜　0 　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　　) (4)过半径外端的直线与圆相切．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　 B．相切　　C．相离　　D．无法判断 解析：B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.] 3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于　________________　. 解析：由已知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4. 答案：4 　　　直线与圆的位置关系的判断 [例1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ [思路点拨]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断． 解：(方法1)将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理， 得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． (方法2)已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. 当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． [变式训练] 1．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件