1．3.1　空间直角坐标系 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1 空间直角坐标系 课程标准 素养解读 1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程 2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系 1.通过空间坐标系的建立及点坐标的表示，培养数学抽象、逻辑推理的素养 2.通过空间坐标系确定点的坐标及应用达到数学运算的学科素养 [情境引入] 如图，在房间(立体空间)内如何确定电灯位置？要确定点在空间内位置，应该需要几个数呢？ 提示：要确定点在空间内位置需要三个数，要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可． [知识梳理] [知识点一]　空间直角坐标系　 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以　i，j，k　的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 　x　轴、　y　轴、　z　轴 坐标原点 点　O　 坐标向量 　i　，　j　，　k　 坐标平面 　Oxy　平面、　Oyz　平面和　Oxz　平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向　x轴　正方向，食指指向　y轴　正方向，如果中指指向　z轴　正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 [知识点二]　空间向量的坐标表示　 空间直 角坐标 系中A 点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝　xi＋yj＋zk　，则　(x，y，z)　叫做点A在空间直角坐标系中的坐标． 记作　A(x，y，z)　，其中　x　叫点A的横坐标，　y　叫做点A的纵坐标，　z　叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝　xi＋yj＋zk　，则　(x，y，z)　叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作　a＝(x，y，z)　 1.若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(　　) (2)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (3) 点(2,0,3)在Oxz平面上．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．下列点在x轴上的是(　　) A．(0.1,0.2,0.3)　　 B．(0,0,0.001) C．(5,0,0) D．(0,0.01,0) 解析：C　[x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.] 3．点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为(　　) A．1　　 B．2　　　C．－2　　　D．5 解析：D　[点P(1，－2,5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2,0)，则点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.] 　　　求空间点的坐标 [例1]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． [思路点拨]　将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解]　(1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)， 则C1C的中点N为， 即N. 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x，y,0) y轴上 (0，y,0) yOz平面上 (0，y，z) z轴上 (0,0，z) xOz平面上 (x,0，z) 坐标原点 (0,0,0) [变式训练] 1.已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点P，A，B，C，D的坐标． 解：因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别