1．2　空间向量基本定理 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．2 空间向量基本定理 课程标准 素养解读 1.掌握空间向量基本定理 2.了解空间向量正交分解的含义 3.会用空间向量基本定理解决有关问题 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养 2.借助基底的判断及应用提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 [情境引入] 我们所在的教室即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量．这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间向量基本定理　 1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 1.零向量能不能作为一个基向量？ [提示]　不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． 2．构成空间的基底是唯一的吗？ [提示]　不唯一，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量． [知识点二]　空间向量的正交分解　 　单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk， 使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量的基底是唯一的．(　　) (2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．(　　) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　) 答案： (1)×　(2)√　(3)√　 2．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x}　　　　　 B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}. 解析： BCD　[如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝. 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD.] 3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　________　. 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 答案：x＝y＝z＝0 　　　基底的判断 [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [思路点拨]　假设，，共面，利用＝x＋y是否有解求解． [解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使＝x＋y成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∴此方程组无解． 即不存在实数x，y使得＝x＋y，所以，，不共面． 所以{，，}能作为空间的一个基底． 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． [变式训练] 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是(　　) A.，，　　 B.，， C.，， D.，， 解析： C　[，，共面，排除A；，，共面，排除B；，，共面，排除D；，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底．故选：C] 　　　用基底表示向量 [例2]　如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c [思路点拨]　借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来． [解析]　B　[∵O为A1C1的中点， ∴＝＋＝