1．1.1　空间向量及其线性运算 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 课程标准 素养解读 1.理解空间向量的概念 2.掌握空间向量的线性运算 3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用 通过学习空间向量的概念，空间向量的线性运算，共线向量定理、共面向量定理的应用重点培养学生的逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 本章前图展示的是一个做滑翔运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始． [知识梳理] [知识点一]　空间向量的概念　 1．在空间，把具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的　长度　或　模． 　空间向量用有向线段表示，有向线段的　长度　表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫　零向量　，记为0 单位向量 　模为1　的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量称为相等向量，　同向　且　等长　的有向线段表示同一向量或相等向量 1.在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？ [提示]　球面． [知识点二]　空间向量的加减运算及运算律　 1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b 2．空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？ [提示]　完全一致． [知识点三]　空间向量的数乘运算　 1．实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向　相反　；当λ＝0时，λa＝0. 2．空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． [知识点四]　共线向量与共面向量　 1．平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相　平行或重合　 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直 线l上的充 要条件 存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t 向量a为直线的　方向向量　 2.共面向量 定义 平行于同一个　平面　的向量 三个向量共面 的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在　唯一　的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 点P位于平 面ABC内的 充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y 对空间任一点O，有＝＋x＋y 3.空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ [提示]　是，空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． 4．若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？ [提示]　共面，由＝＋＋得－＝(－)＋(－) 即＝＋，因此点P与点A，B，C共面． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量没有方向．(　　) (2)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　　) (3)不相等的两个空间向量的模必不相等．(　　) (4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(　　) (5) 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c　　　 B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：C　[＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.] 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是　________　.(填“平行”，“相等”或“相反”) 解析： 设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋) 所以2＝＋，从而∥(＋)． 答案：平行 　　　空间向量概念 [例1]　给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形A