1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课程标准 素养解读 1.理解线线、线面、面面夹角的概念 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角 3.理解点到平面、线面、面面距离的概念 4.会用向量法求点面、线面、面面距离 通过利用空间向量求空间距离，异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角夹角的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养 [情境引入] 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来． 　问题：空间角包括哪些角？求解空间角常用的方法有哪些？ 答案：线线角、线面角、二面角；　传统方法和向量法． [知识梳理] [知识点一]　空间距离的向量求法　 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝　|AB|　 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 1.如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.与在上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？ [提示]　相等，都等于||，即P到平面α的距离． [知识点二]　空间角的向量求法　 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cos θ＝　|cos〈u，v〉|　＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝　|cos〈u，n〉|　＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝　|cos〈n1，n2〉|　＝ 2.直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？ [提示]　设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则 θ＝ [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　) (3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　) (4)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　 B．60°　　　C．150°　　　D．30° 解析：D　[因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，所以它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角等于90°－60°＝30°.] 3．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为　__________　. 　　 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)， 则＝(－2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2，－2,0)， 设平面AD1C的法向量为n＝(x，y，z)，则得 取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2,2,1)． 所以点B1到平面AD1C的距离d＝＝. 答案： 　　　点到直线的距离 [例1]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离： (1)直线AC；(2)直线BD. [解]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC， 所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离． (2)如图建立空间直角坐标系， 则有B(4,3,0)，A1(4,0,5). ＝(4,3,0)，＝(4,0,5)， ＝， 设点A1到直线BD的距离为d.所以 d＝＝＝ 1．本题(1)利用基本定义直接求解距离． 2．点到直线的距离的算法框图 空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图． [变式训练] 1.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解： 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4,3,0