1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．4　 空间向量的应用 1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 课程标准 素养解读 1..能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 3.会用向量方法证明线线、线面、面面平行 1.通过学习直线的方向向量与平面的法向量．，培养学生的数学抽象素养 2.利用向量法证明线线、线面、面面平行．提升学生的逻辑推理素养 [情境引入] 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间中点、直线和平面的向量表示　 (1)点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的位置向量． (2)直线的向量表示 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) 形式 在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t (3)平面的向量表示 通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的 法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量 确定平 面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 　直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ [提示]　不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． [知识点二]　平面的法向量及其求法　 　在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． [知识点三]　空间中直线、平面的平行　 　设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行 l∥m⇔ a∥b ⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔ a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R) [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　) (2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(　　) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是　________　. 解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α 　　　求平面的法向量 [例1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． [思路点拨]　首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解． 解： 如图所示建立空间直角坐标系．依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)， E，B(1,1,0)，于是 ＝，＝(1,1,0)． 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，于是 取x＝1，则y＝－1，z＝1，故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)． 　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量. [变式训练] 1.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)． (1)