1．3.2　空间向量运算的坐标表示 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示 2.会判断两向量平行或垂直 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式 1.会判断两向量平行或垂直．培养数学抽象、直观想象的素养 2.通过空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的应用达到培养数学运算的素养 [情境引入] 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． [知识梳理] [知识点一]　空间向量的坐标运算　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝　(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　 减法 a－b＝　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　 数乘 λa＝　(λa1，λa2，λa3)，λ∈R　 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 1.若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定．A点与原点重合是，不与原点重合则不是． [知识点二]　空间向量的平行与垂直　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(a，b均为非零向量) 2.已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用＝＝表示a∥b的条件？为什么？ [提示]　不能．无法保证b1b2b3≠0，故不能用＝＝表示a∥b的条件． [知识点三]　空间向量的夹角与长度问题　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．(　　) (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.(　　) (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) (4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析：D　[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2,1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝＝6，故选D.] 3．已知a＝(1，－2,4)，b＝(－2,4，x)． (1)当a⊥b时，x＝　__________　.(2)当a∥b时，x＝　________　. 解析：(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝. (2)由a∥b得＝＝，解得x＝－8. 答案：(1)　(2)－8 　　　空间向量的坐标运算 [例1]　已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求＋，－2，·. (2)若点M满足＝＋，求点M的坐标； (3)若p＝，q＝，求(p＋q)·(p－q)． [思路点拨]　先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解． 解：(1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，所以＝(－3,5，－4)，＝(－1,0,9)． 所以＋＝(－4,5,5)，又＝(－4,5,5)，＝(3，－5,4)，所以－2＝(－10,15，－3)，又＝(－3,5，－4)，＝(1,0，－9)，所以·＝－3＋0＋36＝33. (2)由(1)知，＝＋＝(－3,5，－4)＋(1,0，－9)＝， 若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是解得故M. (3)由(1)知，p＝＝(－1,0,9)，q＝＝(－4,5,5)． (方法1)(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16. (方法2)p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)，所以(p＋q)(p－q)＝－15－25＋56＝16. 空间向量的坐标运算注意以下几点： (1)一个向量的