第2章 第2课时 基本不等式 课中-高中数学人教A版（2019）必修第一册课前课中课后同步试题精编

基本不等式 学习目标： 1.探索并了解基本不等式的证明过程；体会证明不等式的基本思想． 2.掌握基本不等式及其等号成立的条件.. 3.能利用基本不等式求代数式的最值，能利用基本不等式证明不等式． 知识要点： 1.基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的_______，称为的______. ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当_____时，有； 另一方面当________时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 2.基本不等式的变形 （1）（当且仅当时等号成立）； （2）（当且仅当____时等号成立）. 典型例题： 题组一 基本不等式概念辨析 例1.（多选） 下列命题中正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．最小值是5 【答案】ACD 对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确； 故选：ACD. 变式：（多选）下列说法中正确的有（ ） A．不等式恒成立 B．不等式恒成立 C．若，则 D．存在a，使得不等式成立 【答案】BCD A，a，b都小于0时不成立，错误； B，，当且仅当时取等号， 所以，正确； C，因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，正确； D，当时，，正确． 故选：BCD． 题组二　基本不等式比较大小 例2． 若，且，则中值最小的是__________ 【答案】 由，，且，根据均值不等式有：，， 又， 因为，所以，则， 所以，即. 故答案为：. 变式：若，，且，则在中最大的一个是_______. 【答案】 因为， 所以，且， 由不等式的基本性质得， 所以在中最大的一个是 故答案为： 题组三　利用基本不等式证明不等式 例3. 已知证明.(请用两种不同的方法证明，其中必须有分析法) 【答案】证明见解析. 证法1(分析法)： ，要证， 只要证，即证.，只要证. ，当且仅当1时取等号.故原不等式成立. 证法2：