专题02 角与距离的最值和范围-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019选择性必修第一册)

专题02 角与距离的最值和范围 训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结 一、角度 难点（1）：求角的范围。如第1题。 难点（2）：翻折图形中的角度，一个方法是几何法，要适当利用平行关系。一个是向量法。如第2题。 难点（3）：二面角，要合理利用三垂线定理。如第3题. 二、距离 难点（1）：对于几何体的数量关系，特别是牵扯到内切球的数量关系，要适当储备一些二级结论。像第1题，正四面体的内切球外接球球心，在高的四等分点处。 难点（2）：立体几何动点题型之一，其中会涉及到动点轨迹，这个轨迹会和圆锥曲线建立联系。可以用定义法解决。如第2题。 难点（3）：动点没有明显的规律时候，或者说不容易寻找规律时，建系设点是最直观的方法了。如第3题。 专题集训题选 一、角度 1.如图，在菱形中，，线段，的中点分别为，，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设菱形的边长为1，则，利用向量的平行四边形法则得到，再利用数量积运算求出，再由 ，根据的范围，利用余弦函数的性质求解. 【详解】 设菱形的边长为1，则，， ，， ， ，所以， 由图可知：，所以，所以，所以， 所以异面直线与所成的角的取值范围是 2.如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线PM与BF夹角余弦值的最大值. 【详解】 取中点，连接，且延长线过点， 因为，，所以平面， 根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点， 以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以， 设，因为，所以，所以， 又因为，， 所以， 不妨设，所以， 所以，取等号时， 所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为， 故选：D. 3.在矩形中，已知，，为的三等分点（靠近A点），现将三角形沿翻折，记二面角，和的平面角分别为，则当平面平面时 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设点在底面的射影为，得到为的四等分点，结合三垂线定理，得到分别是二面角的平面角的平面角，在直角中，求得,得到，即可求解. 【详解】 由题意，在矩形中，已知，，为的三等分点，可得， 设点在底面的射影为， 由，可得，所以为的四等分点， 分别过作, 根据三垂线定理，可得, 所以分别是二面角，和的平面角的平面角，即， 分别在直角中，可得, 在图（1）中，可得,所以， 又由，所以. 故选：B. 4.已知正三棱柱的高与底面边长之比为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设正三棱柱的高为，取的中点，连接，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 设正三棱柱的高为，则该正三棱柱的底面边长为， 取的中点，连接，因为是边长为的等边三角形，则且， 平面，平面，故， ，平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 则， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5.（多选题）如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】BD 【分析】 A：应用面面垂直的性质及线面垂直的判定可得面，故不可能垂直面；B：构建空间直角坐标系，标注点坐标及对应向量坐标，求面的一个法向量，进而求线面角的余弦值；C：由即可求体积；D：由，则与所成角即为所求角，利用余弦定理求其余弦值即可. 【详解】 A：底面为矩形，即，面面，面面，面，所以面，过有且只有一条直线与面垂直，即不可能垂直面，错误； B：为的中点，过作，由题设构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，即，，， 若为面的一个法向量，则，令，有，所以，若与平面所成角为，则，故，正确； C：连接，则，由题设知三棱锥的底面面积为，高为，所以，错误； D：由题设知：，故异面直线与所成的角即为与所成角，即为，而，由余弦定理可得，正确. 故选：BD. 6.（多选题）在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．二面角的正切值为 C