专题01 向量基底拆分与空间概念-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019选择性必修第一册)

专题01 向量基底拆分与空间概念 训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结 1、 实际做题，处理好向量“拆分”，方法是盯着基底，。。。封闭曲线---拉缩-封闭曲线。。。 如第3题。 2、 数量积和模的关系，思维可简化为“见模就平方”，如第2题。 3、 基底的概念比较抽象，可以通过不同的命题真假做对比。如第4、8、9题。 4、 第10,11,12题，在评讲中要作为计算转化重点题之一。 专题集训题选 1．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底. 【详解】 结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面， 故选：C. 2．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值. 【详解】 依题意，， 因为为等边三角形，，，，， 所以，，， ， 所以， . 故选：D. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解. 【详解】 在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，， 则 ， 又，，， 则，， 因此， .故选：B 4．下列命题正确的是（ ） A．若与共线，与线，则与共线 B．向量，，共面，即它们所在的直线共面 C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ D．零向量是模为0，方向任意的向量 【答案】D 【分析】 假设为零向量，可判断选项A； 根据向量的特征，可判断选项B； 根据向量共线定理，可判断选项C； 根据零向量的定义，可判断选项D. 【详解】 由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错； 因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错； 共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错； 根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确. 故选：D. 5．（多选题）在四面体中，以下说法正确的有（ ） A．若，则可知 B．若Q为△的重心，则 C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】 A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论. 【详解】 A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确； B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确； C：由题设知：，即，且，故，错误； D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确. 故选：ABD 6．（多选题）在以下命题中，不正确的命题有（ ） A．是共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】AB 【分析】 利用等号成立的条件可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用基底的概念可判断D 【详解】 对于A：向量同向时，，故A错误； 对于B：需要强调，故B错误； 对于C：因为，则由共面定理知P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D：为空间的一个基底，则不共面，故也不共面， 所以构成空间的另一个基底，故D正确； 故选：AB 7．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】BCD 【分析】 根据空间向量基本定理及基底的基本概念，判断每个选项即可. 【详解】 解：对于选项A，由，也可能是或，故错误； 对于选项B，因为对空间中任意一点，， 则， 整理得. 由空间向量基本定理可知点，，，四点共面，故正确； 对于选项C，由是空间中的一组基底，则，向量，，不共面， 可得向量，，也不共面，所以也是空间的一组基底，故正确； 对于选项D，若空间四个点，，，，， 可得，即，则，，三点共线，故正确. 故选：