专题03 基本不等式-【备考集训】2021-2022学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

专题03 基本不等式 训练题评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结 1. 利用基本不等式求最值时，要反复强调以下这三个条件： （1）“一正”；（2）“二定”；（3）“三相等”。 如第1题。 2. “和与积”互相转化，是基本不等式使用的重要思维和技巧。如第2题和第3题，可利用此题，引导学生观察和总结这个互化规律。 3. “1”的代换综合型，就是构造分母，盯着分母，把分母看做整体，分离构造分母（也可以换元解决）是最常见的一种技巧。如第4题第5题。 4. 注意这个式子中体现出来的因式分解思维：。如第6题。实际上是“有和有积因式分解”型、“有和有积有（无）常数”这个模型，这类题比较难的，就是条件和结论中的“和”系数不一样。 专题集训题选 1.已知，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】 利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】 ，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 2.（多选题）已知正数a，b满足，则（ ） A．的最小值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为8 D．的最小值为8 【答案】BD 【分析】 先利用基本不等式求得判断B；再结合对勾函数的性质判断A；利用基本不等式取等号条件判断C,D. 【详解】 对于B，因为a，b都是正数，，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为4，故B正确； 对于A，由选项B知，结合对勾函数性质知，故A错误； 对于C，，前一个等号成立的条件是，即，而后一个等号成立的条件是，即，等号不具有传递性，故，故C错误； 对于D，，两个等号成立的条件都是，即，等号具有传递性，故，故D正确； 故选：BD 3.（多选题）下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为 D．若正数数x，y满足，则的最小值是3 【答案】AC 【分析】 根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件. 【详解】 因为，所以，， 当且仅当即时，等号成立 ，故A正确； 函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AC 4.若 ，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】 将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】 因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 5.若正数、满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】 由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 已知正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：. 6.已知，，且，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】 ，，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 7.已知实数，满足，则的最小值是______ 【答案】 【分析】 将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求最小值. 【详解】 , , ,当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为： 8.设，则取得最小值时，的值为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】 转化条件为原式，结合基本不等式即可得解. 【详解】 ，当且仅当，即，，时，等号成立. 故选：A. 9.设，，是三个正实数，且，则的最大值为______. 【答案】3 【分析】 由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解. 【详解】 因为，所以，所以， 令，所以， 当且仅当，即时，取等号，所以 所以的最大值为3。故答案为：3 10.若实数满足，则的最大值为________. 【答案】 【分析】 已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】 由，得，设，其中. 则，从而，记，则， 不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 11.已知且，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】 令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】 解：令，，因为，所以， 则，，所以, 所以 ， 当且仅当，即，，即时取“”， 所以的最小值为. 故答案为：. 12.若正实数满足，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】 由已知等量关系得，代入目标式化简得，应用基本不等式求最小值即