专题17 圆锥曲线常考题型05——圆锥曲线中的存在性问题与面积问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题 题型一 圆锥曲线中的存在性问题 1．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线，为坐标原点，抛物线上是否存在，两点关于点对称，若存在，求的面积；若不存在，说明理由． 4．已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 5．已知椭圆的右焦点为，点为椭圆的上顶点，过点与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线的倾斜角为，且与椭圆交于，两点，问是否存在这样的直线使得？若存在，求的方程；若不存在，说明理由． 6．已知圆，圆的弦过点，连接，，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值． 7．已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由． 8．已知椭圆的短轴长为2，过点，的直线倾斜角为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 9．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由． 11．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 12．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点． （Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程． （Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由） 13．如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点．是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型二 圆锥曲线中的面积问题 14．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）求△的面积． 15．已知抛物线的焦点为，并且经过点． （1）求抛物线的方程； （2）过原点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求的面积． 16．已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且． （1）求此椭圆的方程； （2）若点在第二象限，，求△的面积． 17．已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点． （1）求实数的值； （2）求为原点）面积的最大值． 18．已知点，，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程． 19．已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）． （1）求抛物线方程并证明是定值； （2）若，的面积比是，求直线的方程． 20．椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），，为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点． （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程． 21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为8． （1）求该椭圆的标准方程； （2）若点，是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积． 22．已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于点，点是线段的中点． （Ⅰ）求抛物线的准线方程； （Ⅱ）求的面积． 23．李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点，处，，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔