专题13.10 等边三角形-重难点题型-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）【学科网名师堂】

专题13.10 等边三角形-重难点题型 【华东师大版】 【知识点1 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 等边三角形的性质（角度问题）】 【例1】（2020秋•赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数． 【解题思路】依据等边三角形三线合一的性质，即可得到AD垂直平分BC；利用垂直平分线的性质即可得到EC＝EB，进而得到∠ECD的度数；再根据角的和差关系即可得出结论． 【解答过程】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°． 【变式1-1】（2020秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°． 【解题思路】根据BM＝CN可得CM＝AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA＝∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM＝∠ACB＝60°，即可解题． 【解答过程】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN， 又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM， ∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC， ∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180° ∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°， ∴∠AQN＝∠ACB， ∵∠BQM＝∠AQN， ∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°． 【变式1-2】（2020秋•肥东县期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F． （1）求∠EFB的度数； （2）求证：DE＝2DF． 【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可； （2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案． 【解答过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°， ∵D为AC的中点， ∴AD＝CDAC， ∵CEBC， ∴CD＝CE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°； （2）证明：连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵D为AC的中点， ∴∠DBC＝∠ABD∠ABC＝30°， ∵∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DE＝BD， ∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2DF， 即DE＝2DF． 【变式1-3】（2020秋•郑州期末）如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC． （1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝　15°　； （2）如图2，当∠AOC＝100°时，∠DOM＝　50°　； （3）如图3，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，求∠DOM的度数，请借助图3填空． 解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°， 所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°， 因为OM平分∠BOC， 所以∠MOC＝　　∠BOC＝　60°　（用α表示）， 因为△COD为等边三角形， 所以∠DOC＝60°， 所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC＝　　（用α表示）． （4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOM的度数．（用β来表示，无需说明理由） 【解题思路】（1）首先求出∠BOC＝90°，利用角平分线可得∠COM＝45°，再利用角的和差可得答案； （2）同（1）的思路； （3）首先求出∠BOC＝α﹣120°，利用角平分线可得∠COM60°，再利用角的和差可得答案； （4）根据（3）的思路可得答案． 【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣30°＝90°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠COM＝90°÷2＝45°， ∴∠MOD＝60°﹣45°＝15°． 故答案为：15°． （2）∵∠AOC＝100°，∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣100°＝20°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠COM＝20°÷2＝10°， ∴∠MOD＝60