专题13.9 等腰三角形-重难点题型-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）【学科网名师堂】

专题13.9 等腰三角形-重难点题型 【华东师大版】 【知识点1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型1 等腰三角形的性质（角度问题）】 【例1】（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数； （2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由． 【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论． 【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°； （2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°， 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β， 在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE， ∵CE＝BC， ∴∠CBE＝∠BEC＝α， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE， 在△BDC中，BD＝BC， ∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°， ∴β＝70°﹣∠ABE， ∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°， ∴∠BEC+∠BDC＝110°． 【变式1-1】（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数． 【解题思路】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解． 【解答过程】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O， 所以∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， 又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°； （2）∵∠BOC＝130°， ∴∠1+∠2＝50°， ∵∠1：∠2＝3：2， ∴，， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O， ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°． 【变式1-2】（2020春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变． （1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数； （2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式； （3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数． 【解题思路】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC＝90°，从而可得∠BPD； （2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果； （3）分①若EP＝EC，②若PC＝PE，③若CP＝CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD＝90°，以及y解出x即可． 【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝34°， ∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°； （2）∵∠A＝x°， ∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90）°， 由（1）可得：∠ABP∠ABC＝（45）°，∠BDC＝90°， ∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45）°＝