第10讲 翻折问题-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第10讲 翻折问题 【解题策略】 翻折问题是几何中常见的问题，当然，也会与函数一起进行考查。翻折问题的本质是利用轴对称的性质，进而快速解题。 翻折的性质： ①对应边相等--等腰三角形 ②对应角相等--角平分线 ③对应点的连线段被“折痕”所垂直平分 ④对应的三角形全等 【例题讲解】 【例题1】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=7，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE=OD． （1）求证：OP=OF； （2）求AP的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=7，CD=AB=10， 由翻折的性质可知：EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=10， 在△ODP和△OEF中， ， ∴△ODP≌△OEF（ASA）． ∴OP=OF． （2）∵△ODP≌△OEF（ASA）， ∴OP=OF，PD=EF． ∴DF=EP． 设AP=EP=DF=x，则PD=EF=7-x，CF=10-x，BF=10-（7-x）=3+x， 在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即72+（10-x）2=（3+x）2， 解得：x=， ∴AP=． 【例题2】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9．将矩形纸片折叠，使点B和点D重合． （1）求ED的长； （2）求折痕EF的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3． ∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠DEF． ∵∠BFE=∠EFD， ∴∠EFD=∠DEF， ∴DE=DF． 设DE=x，则DF=x，FC=9-x． 在Rt△DFC中，FC2+DC2=DF2， ∴（9-x）2+32=x2．解得x=5． ∴DE=5． （3）过点E做EM垂直于BC，垂足为M．则AE=CF=4，BF=DF=5 ∵AE=CF=4，BF=DF=5， ∴MF=BF-BM=5-4=1． ∴Rt△MEF中，EF2=EM2+MF2=32+12=10 ∴EF＝． 【例题3】如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，求DE的长． 【答案】解：如图1， ∵折叠， ∴△AD′E≌△ADE， ∴∠AD′E＝∠D＝90°， ∵∠AD′B＝90°， ∴B、D′、E三点共线， 又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC， ∴△ABD′≌△BEC， ∴BE＝AB＝17， ∵BD′15， ∴DE＝D′E＝17﹣15＝2； 如图2， ∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°， ∴∠CBE＝∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ， ∴△ABD″≌△BEC， ∴BE＝AB＝17， ∴DE＝D″E＝17+15＝32． 综上所知，DE＝2或32． 故答案为：2或32． 【例题4】有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD=____cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】解：（1）如图1所示． 在Rt△ABC中，AB= 由翻折的性质可知：DC′⊥AB，DC′=DC． ∵SACD+SADB=S△ABC， ∴AC•CD+AB•C′D＝AC•CB． ∴×6×CD+×10×C′D＝×6×8． 又∵CD=C′D， ∴3CD+5CD=24． ∴CD=3． （2）AM2+BN2=MN2． 证明：过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP． ∵BP∥AC， ∴∠A=∠PBH 在△AMH和△BPH中， ， ∴△AMH≌△BPH． ∴AM=BP，MH=PH． 又∵NH⊥MP ∴MN=NP ∵BP∥AC，∠C=90° ∴∠NBP=90° ∴BP2+BN2=NP2 ∴AM2+BN2=MN2． 【进阶训练】 1．如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于　 　度． 【解答】解：根据折叠的性质得AD＝BD＝BC． ∴sinA＝BC：AB， ∴∠A＝30°． 2．有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE（如图），则CD等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x（cm）， 由折叠的性质可得：AD＝BD＝（8﹣x）cm， 在Rt△ACD中：AC2+CD2＝AD2， 即：62+x2＝（8﹣x）2， 解得：x． ∴CD． 故选：C． 3．如