第09讲 勾股定理的证明及运用-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第09讲 勾股定理的证明及运用 【解题策略】 勾股定理知识内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及其判断三角形的形状等。题型多样，常与直角三角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识进行综合考查。 常见的解题策略： 1. 等积法：利用割补法求解几何图形的面积，进而推导出勾股定理； 2. 求线段长度：可利用勾股定理（注：①直角三角形；②三角形三边关系） 3. 最短路径问题：将立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题，运用两点之间线段最短进行求解； 4. 方程思想与分类讨论思想的运用. 【例题讲解】 【例题1】如图，在△ABC中，∠ACB=135°，BC=6，点D为AB的中点，连接DC，若DC⊥BC，求AB的长． 【解析】 解：如图，取AC的中点E，连接DE， ∵点D为AB的中点，BC=6， ∴DE∥BC，且DE=BC=3． ∵DC⊥BC， ∴DC⊥DE． ∵∠ACB=135°，∠DCB=90°， ∴∠DCE=135°-90°=45°． ∴∠DEC=∠DCE=45°． ∴DE=DC=3． 在直角△BCD中，由勾股定理知： BD=． ∴AB=2BD=． 【例题2】如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=20km， （1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离； （2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号） 【解析】解：（1）根据题意得：∠CAB=30°，∠ABC=120°， ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-120°=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=20（km）．答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km； （2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长． ∵CD⊥l， ∴∠CDB=90°， ∵∠CBD=180°-∠ABC=180°-120°=60°， ∴∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=180°-60°-90°=30°， 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠BCD=30°，BC=20km， ∴BD＝BC＝10(km)， CD＝（km）． 答：这条最短公路的长为km． 【例题3】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）当t为几秒时，BP平分∠ABC （3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （4）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、 Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线 PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【解析】（1）如图1，由∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm， ∴AC=8 cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP=2 cm，AP=6 cm， ∵∠C=90°， ∴有勾股定理得PB==, ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=(16+) cm． （2）如图1所示，过点P作PD⊥AB于点D， ∵AP平分∠CAB， ∴PD=PC． 在Rt△APD与Rt△APC中， ∴Rt△APD≌Rt△APC（HL）， ∴AD=AC=6 cm， ∴BD=10-6=4 cm． 设PC=x cm，则PB=（8-x）cm， 在Rt△BPD中，PD2+BD2=PB2，即x2+42=(8-x) 2，解得x=3， ∴当t=3秒时，AP平分∠CAB； （3）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=6cm， 此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； ②若P在AB边上时，有三种情况： i）如图3，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm， 所以用的时间为12s时，△BCP为等腰三角形； ii）如图4，若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm， 在Rt△PCD中，PD=3.6cm， ∴BP=2PD=7.2cm， ∴P运动的路程为18-7.2=10.8cm， ∴用的时间为10.8s时，△BCP为等腰三角形；