第08讲 等腰三角形存在性问题-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第08讲 等腰三角形存在性问题 【解题策略】 1. 等腰三角形的分类讨论 （1） 遇角需讨论：顶角和底角； （2） 遇边需讨论：底边和腰； （3） 遇高需讨论：形内和形外. 2. 等腰三角形存在性的确定 “两圆一线”法：如图，在直线l上找一点P，使得△ABP是等腰三角形. 3. 构造等腰三角形的常用技巧 （1） 如图1，“角平分线+平行线”构造等腰三角形； （2） 如图2，“角平分线+垂线”构造等腰三角形； （3） 如图3，用“垂直平分线”构造等腰三角形； （4） 如图4，用“三角形中的二倍角”构造等腰三角形. 图1 图2 图3 图4 【例题讲解】 【例题1】Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或直线AC上找到一点P，使△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） 　 A． 4 B． 6 C. 7 D. 8 【例题2】在△ABC中∠B=20°，∠A=110°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，顶角是　 　． 【例题3】如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t= 时，△POQ是等腰三角形。 【例题4】直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形． 【进阶训练】 1.如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，满足条件的点P共有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ） A. 100°、140°或100°、20° B. 100°、140° C. 100°、20° D. 140°、20° 3.如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？ 4.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数． 5. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E。 （1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形。 6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值 【综合测评】 1．如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 第1题图 第2题图 第5题图 2.如图所示，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E使CE=CA。连接AD，AE，则∠DAE=（ ） A. 100° B. 105° C. 115° D. 125° 3. 等腰三角形ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ） A. 7cm B. 2cm或7cm C. 5cm D. 2cm或5cm 4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（ ） A.32.5° B. 57.5° C. 65°或57.5° D. 32.5°或57.5° 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，